已知抛物线y=ax²＋bx＋c与直线y=mx＋n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,－)和(m－b, m²－mb＋n),其中 a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求证:抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴有两个交点;
(Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax²＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x₀,y₀),求这时|y₀|的最小值.

答案

解:(Ⅰ)把点(0,－)代入抛物线,得:c=－;
(Ⅱ)把点(0,－)代入直线得:n=－.
把点(m－b,m²－mb＋n)代入抛物线,得:
a(m－b)²＋b(m－b)＋c=m²－mb＋n
∵c=n=－,
∴a(m－b)²＋b(m－b)=m²－mb,
am²－2abm＋ab²＋bm－b²－m²＋mb=0,
(a－1)m²－(a－1)•2bm＋(a－1)b²=0,
(a－1)(m²－2bm＋b²)=0,
(a－1)(m－b)²=0,
若m－b=0,则(m－b,m²－mb＋n)与(0,－)重合,与题意不合,

∴a=1,
∵抛物线y=ax²＋bx＋c=x²＋bx－,b²－4ac=b²－4×

(－)=b²＋2＞0,

∴抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴有两个交点;
(Ⅲ)y=x²＋bx－,顶点(－,－－),

设抛物线y=x²＋bx－在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h,
①当－＜－1时,即b＞2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y₀),

∴|H|=y₀=＋b＞,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y₀),
∴|h|=|y₀|=|－b|=b－＞,
∴|H|＞|h|,
∴这时|y₀|的最小值大于,
②当－1≤－≤0时,即0≤b≤2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y₀),
∴|H|=y₀=＋b≥,当b=0时等号成立,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(－,－－),
∴|h|=|－－|=≥,
当b=0时等号成立,
∴这时|y₀|的最小值等于,
③当0＜－≤1,即－2≤b＜0时,
在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y₀),
∴|H|=y₀=|1＋(－1)b－|=|－b|=－b＞,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(－,－－),
∴|h|=|y₀|=|－－|=＞,
∴这时|y₀|的最小值大于;
④当1＜－时,即b＜－2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y₀),
∴|H|=－b＞,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y₀),
∴|h|=|＋b|=－(b＋)＞,
∴|H|＞|h|,
∴这时|y₀|的最小值大于,
综上所述:当b=0,x₀=0时,这时|y₀|取最小值为.