如图,二次函数y=-x2+2(m-2)x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.
(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;
(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为,最大值为4,求a,b应满足的条件;
(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=-x2+2(m-2)x+3,
得-9+6(m-2)+3=0,
解得m=3,
则二次函数为y=-x2+2x+3,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4);
(Ⅱ)把y=代入y=-x2+2x+3中,
得=-x2+2x+3,
解得x1=-,x2=,
又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4),
结合图象知-≤a≤1.
当a=-时,1≤b≤,
当-<a≤1时,b=;
(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,
当x=0时,y=3,
∴点C坐标为(0,3).
当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:
①如解图①,当DC=DP时,
由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,
∴点P坐标为(2,3);
②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P,
过点D作x轴的平行线交y轴于点H,
过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,
∵HD=HC=1,PC=PD,
∴HP是线段CD的垂直平分线.
∵HD=HC,HP⊥CD,
∴HP平分∠MHN,
∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N,
∴PM=PN.
设P(m,-m2+2m+3),
则m=4-(-m2+2m+3),解得m=,
∴点P的坐标为(,)(解图中未标记此点)或(,);
③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.
综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(,)或(,).
图① 图② 图③
已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过(m,b),(m+1,a)两点,
(Ⅰ)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;
(Ⅱ)若b≥a,求m的取值范围;
(Ⅲ)当b≥a,m<0时,二次函数y=ax2+bx+c有最大值-2,求a的最大值.
解:(Ⅰ)∵m=1,c=1,
∴抛物线的解析式为y=ax2+bx+1(a<0)过(1,b),(2,a)两点,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1;
(Ⅱ)依题意得,
由②-①得b=-am,
∵b≥a,
∴-am≥a,
∵a<0,
∴m≥-1;
(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=-am,
代入①得am2-am2+c=b,
∴c=b=-am,
∵b≥a,m<0,
∴-1≤m<0,
∵二次函数y=ax2+bx+c有最大值-2,
∴=-2,
∴=m2+4m,
∴= (m+2)2-4,
∵-1≤m<0,
∴-3≤(m+2)2-4<0,
∴a≤-,
∴a的最大值为-.
平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2m2x+2交y轴于A点,交直线x=4于B点.
(Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);
(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;
(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(xp,yp),一定满足yp≤2,求m的取值范围.
解:(Ⅰ)由抛物线的对称轴公式可得x===m,
∴抛物线的对称轴为直线x=m;
(Ⅱ)当x=0时,y=mx2-2m2x+2=2,
∴点A(0,2).
∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,
∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,
∴m=2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+2;
(Ⅲ)当m>0时,如解图①,
∵A(0,2),
∴要使0≤xp≤4时,始终满足yp≤2,只需使抛物线y=mx2-2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.
∴m≥2;
当m<0时,如解图②,
m<0时,yp≤2恒成立.
综上所述,m的取值范围为m<0或m≥2.
第3题解图
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1).
(Ⅰ)求抛物线的表达式;
(Ⅱ)若-1≤x≤3,试求y的取值范围;
(Ⅲ)若M(n2-4n+6,y1)和N(-n2+n+,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.
解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,5),
∴设抛物线的表达式为:y=a(x-2)2+5,
把(0,1)代入得:a(0-2)2+5=1,
a=-1,
∴抛物线的表达式为:y=-(x-2)2+5=-x2+4x+1;
(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=-1,对称轴为直线x=2,且-1≤x≤3,
∴当x=-1时,y有最小值,最小值为y=-(-1-2)2+5=-4,
当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,
∴y的取值范围是-4≤y≤5;
(Ⅲ)∵n2-4n+6=(n-2)2+2≥2,-n2+n+=-(n-)2+2≤2,
∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,
∵N(-n2+n+,y2),
∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n2-n+,y2),
∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,
∴①当n2-4n+6>n2-n+时,即n<时,y1<y2;
②当n2-4n+6=n2-n+时,即n=时,y1=y2;
③当n2-4n+6<n2-n+时,即n>时,y1>y2.
已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,-)和(m-b, m2-mb+n),其中 a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;
(Ⅲ)当-1≤x≤1时,设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.
解:(Ⅰ)把点(0,-)代入抛物线,得:c=-;
(Ⅱ)把点(0,-)代入直线得:n=-.
把点(m-b,m2-mb+n)代入抛物线,得:
a(m-b)2+b(m-b)+c=m2-mb+n
∵c=n=-,
∴a(m-b)2+b(m-b)=m2-mb,
am2-2abm+ab2+bm-b2-m2+mb=0,
(a-1)m2-(a-1)•2bm+(a-1)b2=0,
(a-1)(m2-2bm+b2)=0,
(a-1)(m-b)2=0,
若m-b=0,则(m-b,m2-mb+n)与(0,-)重合,与题意不合,
∴a=1,
∵抛物线y=ax2+bx+c=x2+bx-,b2-4ac=b2-4×
(-)=b2+2>0,
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;
(Ⅲ)y=x2+bx-,顶点(-,--),
设抛物线y=x2+bx-在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h,
①当-<-1时,即b>2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0),
∴|H|=y0=+b>,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(-1,y0),
∴|h|=|y0|=|-b|=b->,
∴|H|>|h|,
∴这时|y0|的最小值大于,
②当-1≤-≤0时,即0≤b≤2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0),
∴|H|=y0=+b≥,当b=0时等号成立,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(-,--),
∴|h|=|--|=≥,
当b=0时等号成立,
∴这时|y0|的最小值等于,
③当0<-≤1,即-2≤b<0时,
在x轴上方与x轴距离最大的点是(-1,y0),
∴|H|=y0=|1+(-1)b-|=|-b|=-b>,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(-,--),
∴|h|=|y0|=|--|=>,
∴这时|y0|的最小值大于;
④当1<-时,即b<-2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(-1,y0),
∴|H|=-b>,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0),
∴|h|=|+b|=-(b+)>,
∴|H|>|h|,
∴这时|y0|的最小值大于,
综上所述:当b=0,x0=0时,这时|y0|取最小值为.
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