已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1).
(Ⅰ)求抛物线的表达式;
(Ⅱ)若-1≤x≤3,试求y的取值范围;
(Ⅲ)若M(n2-4n+6,y1)和N(-n2+n+,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.
解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,5),
∴设抛物线的表达式为:y=a(x-2)2+5,
把(0,1)代入得:a(0-2)2+5=1,
a=-1,
∴抛物线的表达式为:y=-(x-2)2+5=-x2+4x+1;
(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=-1,对称轴为直线x=2,且-1≤x≤3,
∴当x=-1时,y有最小值,最小值为y=-(-1-2)2+5=-4,
当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,
∴y的取值范围是-4≤y≤5;
(Ⅲ)∵n2-4n+6=(n-2)2+2≥2,-n2+n+=-(n-)2+2≤2,
∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,
∵N(-n2+n+,y2),
∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n2-n+,y2),
∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,
∴①当n2-4n+6>n2-n+时,即n<时,y1<y2;
②当n2-4n+6=n2-n+时,即n=时,y1=y2;
③当n2-4n+6<n2-n+时,即n>时,y1>y2.
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