平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2m2x+2交y轴于A点,交直线x=4于B点.
(Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);
(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;
(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(xp,yp),一定满足yp≤2,求m的取值范围.
解:(Ⅰ)由抛物线的对称轴公式可得x===m,
∴抛物线的对称轴为直线x=m;
(Ⅱ)当x=0时,y=mx2-2m2x+2=2,
∴点A(0,2).
∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,
∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,
∴m=2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+2;
(Ⅲ)当m>0时,如解图①,
∵A(0,2),
∴要使0≤xp≤4时,始终满足yp≤2,只需使抛物线y=mx2-2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.
∴m≥2;
当m<0时,如解图②,
m<0时,yp≤2恒成立.
综上所述,m的取值范围为m<0或m≥2.
第3题解图
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