如图,二次函数y=－x²＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.
(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;
(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为,最大值为4,求a,b应满足的条件;
(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

答案

解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x²＋2(m－2)x＋3,
得－9＋6(m－2)＋3=0,
解得m=3,
则二次函数为y=－x²＋2x＋3,
∵y=－x²＋2x＋3=－(x－1)²＋4,
∴顶点D的坐标为(1,4);
(Ⅱ)把y=代入y=－x²＋2x＋3中,
得=－x²＋2x＋3,
解得x₁=－,x₂=,

又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4),

结合图象知－≤a≤1.
当a=－时,1≤b≤,
当－＜a≤1时,b=;
(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,

当x=0时,y=3,

∴点C坐标为(0,3).
当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:
①如解图①,当DC=DP时,

由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,
∴点P坐标为(2,3);
②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P,

过点D作x轴的平行线交y轴于点H,

过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,
∵HD=HC=1,PC=PD,
∴HP是线段CD的垂直平分线.
∵HD=HC,HP⊥CD,
∴HP平分∠MHN,
∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N,
∴PM=PN.
设P(m,－m²＋2m＋3),

则m=4－(－m²＋2m＋3),解得m=,
∴点P的坐标为(,)(解图中未标记此点)或(,);
③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.     
综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(,)或(,).

    图①           图②         图③