如图,在平面直角坐标系中,正方形OBCD的点B的坐标为(2,0),E,F分别为边BC,CD上的点,且BE=CF,连接OE,BF,交点为G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交x轴于点Q.
(Ⅰ)求证:OE⊥BF;
(Ⅱ)若E为BC的中点,求点Q的坐标;
(Ⅲ)设点E的坐标为(2,n),点Q的坐标为(-m,0),请写出m关于n的函数关系式.
第3题图
解:(Ⅰ)在△BEO和△CFB中,,
∴△BEO≌△CFB,
∴∠BEO=∠CFB,
∵∠CFB+∠CBF=90°,
∴∠BEO+∠CBF=90°,
∴∠EGB=180°-90°=90°,
∴OE⊥BF;
(Ⅱ)如解图,由折叠的性质得∠1=∠2,BP=BC=2,
FP=FC=BE=1,
∵CD∥OB,
∴∠2=∠FBQ,
∴∠1=∠FBQ,
∴QF=QB,
设QB=x,则PQ=x-1,
在Rt△BPQ中,QB2=PB2+PQ2,
即x2=22+(x-1)2,
解得x=,
∴QO=QB-OB=-2=,
∴点Q的坐标是(-,0);
(Ⅲ)如解图,过点F作FH⊥OB于点H,
则四边形BCFH为矩形,即CF=BH,
∵点E的坐标为(2,n),BE=CF,
∴CF=BH=BE=n,
由折叠的性质可得BC=BP=2,BP⊥QF,
∵S△FBQ=QB·FH=QF·BP,
∴QB=QF,
∵QB=OB+OQ=m+2,
在Rt△QFH中,由勾股定理得QF2=FH2+QH2,即(m+2)2=(m+2-n)2+22,
∴m=.
第3题解图
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