如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(Ⅰ)求点A,B的坐标;
(Ⅱ)在直线AB上是否存在点P,使△OAP是以OA为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)若将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB上,点O与点D重合,折痕为BC,求折痕BC所在直线的解析式.
第1题图
解:(Ⅰ)在y=-x+4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4,
∴A(4,0),B(0,4);
(Ⅱ)如解图①,作线段OA的垂直平分线,交x轴于点E,交AB于点P,
则OP=PA,即P点即为满足条件的点,
∵OA=4,
∴OE=2,
在y=-x+4中,当x=2时,可得y=2,
∴P点坐标为(2,2);
(Ⅲ)如解图②,
设C(t,0),则AC=OA-OC=4-t,
∵OA=OB=4,
∴AB=4,
由折叠的性质可得BD=OB=4,CD=OC=t,∠ADC=∠BOC=90°,
∴AD=AB-BD=4-4,
在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC2=AD2+CD2,即(4-t)2=t2+(4-4)2,解得t=4-4,
∴C(4-4,0),
设直线BC解析式为y=kx+b,
∴,
解得,
∴折痕BC的解析式为y=-(1+)x+4.
图① 图②
第1题解图
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