在平面直角坐标系中,点 A(-2,0),B(2,0),C(0,2),点 D,点E分别是 AC,BC的中点,将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′,旋转角为α,连接 AD′,BE′.
(Ⅰ)如图①,若 0°<α<90°,当 AD′∥CE′时,求α的大小;
(Ⅱ)如图②,若 90°<α<180°,当点 D′落在线段 BE′上时,求 sin∠CBE′的值;
(Ⅲ)若直线AD′与直线BE′相交于点P,求点P的横坐标m的取值范围.
解:(Ⅰ)如解图①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),
∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,
∵△CD′E′是△CDE旋转得到的,
∴∠D′CE′=90°,
∵AD′∥CE′,∴∠AD′C=∠D′CE′=90°,
∵D为AC的中点,∴CD=AC,
∵CD=CD′,∴CD′=AC,
在Rt△ACD′中,cosα==,
∴α=60°;
(Ⅱ)设F为D′E′的中点,连接CF,如解图②,
∵CD′=CE′,∠E′CD′=90°,
∴CF⊥BE′,CF=D′E′=1,
又∵BC==2,
∴在Rt△BCF中,sin∠CBE′=;
(Ⅲ)如解图③中,以C为圆心,CD′为半径作⊙C,当BE′与⊙C相切时AP最长,则四边形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H.
∵CD′=CD=AC=,
∴⊙C的半径为,
∵在Rt△ACD′中,AD′=,
∴AP=AD′+PD′=+,
∵cos∠PAB=,∴AH=2+,
∴点P横坐标的最大值为.
如解图④中,当BE′与⊙C相切时AP最短,则四边形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H.
根据对称性可知OH=,
∴点P横坐标的最小值为-,
∴点P横坐标的取值范围为-≤m≤.
图① 图②
图③ 图④
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