解:(Ⅰ)如解图①,过点B作BC⊥x轴于点C,
∵△AOB为等边三角形,且OA=2,
∴∠AOB=60°,OB=OA=2,
∴∠BOC=30°,而∠OCB=90°,
∴BC=OB=1,OC=,
∴点B的坐标为B(,1);
(Ⅱ)∵△APQ、△AOB均为等边三角形,
∴AP=AQ, AO=AB, ∠PAQ=∠OAB,
∴∠PAO=∠QAB,
在△APO与△AQB中,,
∴△APO≌△AQB,
∴∠ABQ=∠AOP=90°;
(Ⅲ)当点P在x轴正半轴上时,
∵∠OAB=60°,
∴将AP绕点A逆时针旋转60°时,点Q在点B上方,
∴OQ和AB必相交,
当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,
∵AB∥OQ,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.
在Rt△BOQ中,OB=2,∠OBQ=90°－∠BOQ=30°,
∴BQ=,
由(Ⅱ)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=,
∴此时点P的坐标为(－,0).

      图①             图②

解:(Ⅰ)∵A(－2,0),
∴OA=2,
∵CD⊥OD,CD=OA=2,
又∵S_△OCD=5,
∴×OD×2=5,
∴OD=5,
∴OB=OD=5,
∴B(0,5);
(Ⅱ)如解图①,连接EC、AE、CF.
∵OB=2OA,CD=OA,OD=OB,
∴CD=OB,
∵EB=EO,OF=DF,
∴OE∥CD,OE=CD,
∴四边形OECD是平行四边形,
∴EC=OD,
∵AF=OD=EC,
∴EC=AF,EC∥AF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AG=CG,即点G为AC的中点;
(Ⅲ)成立.
理由:如解图②,连接AE、CF,在FE上取一点H,使得CH=CF.

∵OB=OD,OE=EB,OF=DF,
∴OE=DF,∵∠AOE=∠FDC,OA=CD,
∴△AOE≌△CDF,
∴AE=CF=CH,∠AEO=∠CFD,
∵OE=OF,
∴∠OEF=∠OFE,
∵∠AEG=∠AEO＋∠OEF,∠CHG=180°－∠CHF=180°－∠CFH=180°－(180°－∠OFE－∠CFD)=∠OFE＋∠CFD,
∴∠AEG=∠CHG,
∵∠AGE=∠CGH,
∴△AEG≌△CHG,
∴AG=CG,即点G为AC的中点.

      图①            图②

解:(Ⅰ)由条件知,B₂A₁=B₁A₁=BA=15,A₁O=B₁C₁=BC=9,
∴在Rt△A₁OB₂中,OB₂＝＝12,
∴点B₂坐标为(12,0);
(Ⅱ)B₂C₁=15－12=3,DC₁=m,则B₁D=9－m,
∵B₁D=B₂D,
∴＝9−m,
解得m=4,
∴D点的坐标为(15,4),
又∵A₁(0,9),
设折痕A₁D所在直线的解析式为y=kx＋b(k≠0),
∴,
解得,
即折痕A₁D所在直线的解析式为y＝−x＋9;
(Ⅲ)假设存在P点,
∵∠BPA＋∠BPB₁＋∠B₁PC₁=180°,∠BPB₁=90°,
∴∠BPA＋∠B₁PC₁=90°,
∵∠BAP=90°,∠ABP＋∠BPA=90°,
∴∠ABP=∠B₁PC₁.
在△BAP和△PC₁B₁中,,
∴△BAP∽△PC₁B₁.
∴,
∵AB=15,C₁B₁=9,AC₁=24,设PC₁的长为m,
∴,
解得m₁=15或m₂=9.
经检验m₁=15或m₂=9是方程的两根,
当PC₁=15时,P点坐标为(0,0);
当PC₁=9时,P点坐标为(6,0).
综上所述,P点坐标为(0,0),(6,0).

解:(Ⅰ)如解图①,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.
由已知得:BF=OE=2,∴OF==2,
∴点B的坐标是(2,2).
设直线AB的解析式是y=kx＋b(k≠0),
则有,∴.
∴直线AB的解析式是y=－x＋4;
(Ⅱ)∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.
∴∠DAP=∠BAO=60°,∴△ADP是等边三角形.
如解图②,过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,
∴BG=BD•cos60°=t×=.DG=BD•sin60°=t.
∴OH=EG=2＋t,DH=2＋t.
∴点D的坐标为(2＋t,2＋t);
(Ⅲ)存在.
假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于,设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:
①当t＞0时,如解图②,BD=OP=t,DG=t,
∴DH=2＋t.
∵△OPD的面积等于,∴t(2＋t)=,
∴t₁=,t₂=(舍去).
∴点P₁的坐标为(,0).
②∵当D在x轴上时,如解图③,
根据锐角三角函数求出BD=OP=,
∴当－＜t≤0时,如解图①,BD=OP=－t,BG=－t,
∴DH=GF=2－(－t)=2＋t.
∵△OPD的面积等于,∴－t(2＋t)=,
∴t₁=－,t₂=－,
∴点P₂的坐标为(－,0),点P₃的坐标为(－,0).
③当t≤－时,BD=OP=－t,BG=－t,

∴DH=－t－2.
∵△OPD的面积等于,
∴(－t)(－2－t)=,
∴t₁=,t₂=(舍去).
∴点P₄的坐标为(,0).
综上所述,点P的坐标分别为P₁(,0),

P₂(－,0),P₃(－,0),P₄(,0).

      图①             图②              图③

解:(Ⅰ)如解图①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),

∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,

∵△CD′E′是△CDE旋转得到的,

∴∠D′CE′=90°,
∵AD′∥CE′,∴∠AD′C=∠D′CE′=90°,

∵D为AC的中点,∴CD=AC,

∵CD=CD′,∴CD′=AC,
在Rt△ACD′中,cosα==,
∴α=60°;
(Ⅱ)设F为D′E′的中点，连接CF,如解图②,

∵CD′=CE′,∠E′CD′=90°,

∴CF⊥BE′,CF=D′E′=1,
又∵BC==2,
∴在Rt△BCF中,sin∠CBE′=;
(Ⅲ)如解图③中,以C为圆心,CD′为半径作⊙C,当BE′与⊙C相切时AP最长,则四边形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H.
∵CD′=CD=AC=,

∴⊙C的半径为,

∵在Rt△ACD′中,AD′=,

∴AP=AD′＋PD′=＋,
∵cos∠PAB=,∴AH=2＋,
∴点P横坐标的最大值为.
如解图④中,当BE′与⊙C相切时AP最短,则四边形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H.
根据对称性可知OH=,
∴点P横坐标的最小值为－,
∴点P横坐标的取值范围为－≤m≤.

     图①             图②

      图③           图④