如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(Ⅰ)求点B的坐标及直线AB的解析式;
(Ⅱ)当点P运动到点(t,0)时,试用含t的式子表示点D的坐标;
(Ⅲ)是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在,请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可)

答案

解:(Ⅰ)如解图①,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.
由已知得:BF=OE=2,∴OF==2,
∴点B的坐标是(2,2).
设直线AB的解析式是y=kx＋b(k≠0),
则有,∴.
∴直线AB的解析式是y=－x＋4;
(Ⅱ)∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.
∴∠DAP=∠BAO=60°,∴△ADP是等边三角形.
如解图②,过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,
∴BG=BD•cos60°=t×=.DG=BD•sin60°=t.
∴OH=EG=2＋t,DH=2＋t.
∴点D的坐标为(2＋t,2＋t);
(Ⅲ)存在.
假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于,设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:
①当t＞0时,如解图②,BD=OP=t,DG=t,
∴DH=2＋t.
∵△OPD的面积等于,∴t(2＋t)=,
∴t₁=,t₂=(舍去).
∴点P₁的坐标为(,0).
②∵当D在x轴上时,如解图③,
根据锐角三角函数求出BD=OP=,
∴当－＜t≤0时,如解图①,BD=OP=－t,BG=－t,
∴DH=GF=2－(－t)=2＋t.
∵△OPD的面积等于,∴－t(2＋t)=,
∴t₁=－,t₂=－,
∴点P₂的坐标为(－,0),点P₃的坐标为(－,0).
③当t≤－时,BD=OP=－t,BG=－t,

∴DH=－t－2.
∵△OPD的面积等于,
∴(－t)(－2－t)=,
∴t₁=,t₂=(舍去).
∴点P₄的坐标为(,0).
综上所述,点P的坐标分别为P₁(,0),

P₂(－,0),P₃(－,0),P₄(,0).

      图①             图②              图③