如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=9,OC=15,将矩形纸片OABC绕O点顺时针旋转90°得到矩形OA1B1C1.将矩形OA1B1C1折叠,使得点B1落在x轴上,并与x轴上的点B2重合,折痕为A1D.
(Ⅰ)求点B2的坐标;
(Ⅱ)求折痕A1D所在直线的解析式;
(Ⅲ)在x轴上是否存在点P,使得∠BPB1为直角？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(Ⅰ)由条件知,B2A1=B1A1=BA=15,A1O=B1C1=BC=9,
∴在Rt△A1OB2中,OB2＝
＝12,
∴点B2坐标为(12,0);
(Ⅱ)B2C1=15－12=3,DC1=m,则B1D=9－m,
∵B1D=B2D,
∴
＝9−m,
解得m=4,
∴D点的坐标为(15,4),
又∵A1(0,9),
设折痕A1D所在直线的解析式为y=kx＋b(k≠0),
∴
,
解得
,
即折痕A1D所在直线的解析式为y＝−
x＋9;
(Ⅲ)假设存在P点,
∵∠BPA＋∠BPB1＋∠B1PC1=180°,∠BPB1=90°,
∴∠BPA＋∠B1PC1=90°,
∵∠BAP=90°,∠ABP＋∠BPA=90°,
∴∠ABP=∠B1PC1.
在△BAP和△PC1B1中,
,
∴△BAP∽△PC1B1.
∴
,
∵AB=15,C1B1=9,AC1=24,设PC1的长为m,
∴
,
解得m1=15或m2=9.
经检验m1=15或m2=9是方程的两根,
当PC1=15时,P点坐标为(0,0);
当PC1=9时,P点坐标为(6,0).
综上所述,P点坐标为(0,0),(6,0).
