在直角坐标系中,OA=CD,OB=OD,CD⊥x轴于D,E、F分别是OB、OD中点,连接EF交AC于点G.
(Ⅰ)如图①,若点A的坐标为(-2,0),S△OCD=5,求点B的坐标;
(Ⅱ)如图②,当OB=2OA时,求证:点G为AC的中点;
(Ⅲ)如图③,当OB>2OA,△ABO绕原点O顺时针旋转α(0°<α<45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
第2题图
解:(Ⅰ)∵A(-2,0),
∴OA=2,
∵CD⊥OD,CD=OA=2,
又∵S△OCD=5,
∴×OD×2=5,
∴OD=5,
∴OB=OD=5,
∴B(0,5);
(Ⅱ)如解图①,连接EC、AE、CF.
∵OB=2OA,CD=OA,OD=OB,
∴CD=OB,
∵EB=EO,OF=DF,
∴OE∥CD,OE=CD,
∴四边形OECD是平行四边形,
∴EC=OD,
∵AF=OD=EC,
∴EC=AF,EC∥AF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AG=CG,即点G为AC的中点;
(Ⅲ)成立.
理由:如解图②,连接AE、CF,在FE上取一点H,使得CH=CF.
∵OB=OD,OE=EB,OF=DF,
∴OE=DF,∵∠AOE=∠FDC,OA=CD,
∴△AOE≌△CDF,
∴AE=CF=CH,∠AEO=∠CFD,
∵OE=OF,
∴∠OEF=∠OFE,
∵∠AEG=∠AEO+∠OEF,∠CHG=180°-∠CHF=180°-∠CFH=180°-(180°-∠OFE-∠CFD)=∠OFE+∠CFD,
∴∠AEG=∠CHG,
∵∠AGE=∠CGH,
∴△AEG≌△CHG,
∴AG=CG,即点G为AC的中点.
图① 图②
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