如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),△ABO为等边三角形,P是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60°,P点的对应点为点Q.
(Ⅰ)求点B的坐标;
(Ⅱ)当点P在x轴负半轴运动时,求证:∠ABQ=90°;
(Ⅲ)连接OQ,在点P运动的过程中,当OQ平行AB时,求点P的坐标.
第1题图
解:(Ⅰ)如解图①,过点B作BC⊥x轴于点C,
∵△AOB为等边三角形,且OA=2,
∴∠AOB=60°,OB=OA=2,
∴∠BOC=30°,而∠OCB=90°,
∴BC=OB=1,OC=,
∴点B的坐标为B(,1);
(Ⅱ)∵△APQ、△AOB均为等边三角形,
∴AP=AQ, AO=AB, ∠PAQ=∠OAB,
∴∠PAO=∠QAB,
在△APO与△AQB中,,
∴△APO≌△AQB,
∴∠ABQ=∠AOP=90°;
(Ⅲ)当点P在x轴正半轴上时,
∵∠OAB=60°,
∴将AP绕点A逆时针旋转60°时,点Q在点B上方,
∴OQ和AB必相交,
当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,
∵AB∥OQ,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.
在Rt△BOQ中,OB=2,∠OBQ=90°-∠BOQ=30°,
∴BQ=,
由(Ⅱ)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=,
∴此时点P的坐标为(-,0).
图① 图②
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