如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合.
(1)求证:△ABG≌△C′DG;
(2)求tan∠ABG的值;
(3)求EF的长.
【解答】(1)证明:∵△BDC′由△BDC翻折而成,
∴∠C=∠BAG=90°,C′D=AB=CD,∠AGB=∠DGC′,
∴∠ABG=∠ADE,
在△ABG与△C′DG中,
∵,
∴△ABG≌△C′DG(AAS);
(2)解:
∵由(1)可知△ABG≌△C′DG,
∴GD=GB,
∴AG+GB=AD,
设AG=x,则GB=8﹣x,
在Rt△ABG中,
∵AB2+AG2=BG2,
即62+x2=(8﹣x)2,
解得x=,
∴tan∠ABG===;
(3)解:
∵△AEF是△DEF翻折而成,
∴EF垂直平分AD,
∴HD=AD=4,
∴tan∠ABG=tan∠ADE=,
∴EH=HD×=4×=,
∵EF垂直平分AD,AB⊥AD,
∴HF是△ABD的中位线,
∴HF=AB=×6=3,
∴EF=EH+HF=+3=.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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