如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（　　）

A．  B．  C．  D．

答案

D【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，是的FG=DE．

∵AD∥BC，

∴∠BCD+∠ADC=180°，

∴∠ADC=∠BCD=∠AFC=90°，

∴四边形ADCF是矩形，

∵∠CAD=45°，

∴AD=CD，

∴四边形ADCF是正方形，

∴AF=AD，∠AFG=∠ADF=90°，

∴△AFG≌△ADE，

∴AG=AE，∠FAG=∠DAE，

∴∠FAG+∠FAB=∠EAD+∠FAB=45°=∠BAE，

∴△BAE≌△BAG，

∴BE=BG=BF+GF=BF+DE，

设BC=a，则AB=4+a，BF=4﹣a，

在Rt△ABF中，4²+（4﹣a）²=（4+a）²，解得a=1，

∴BC=1，BF=3，设BE=b，则DE=b﹣3，CE=4﹣（b﹣3）=7﹣b．

在Rt△BCE中，1²+（7﹣b）²=b²，解得b=，

∴BG=BE=，

∴S_△ABE=S_△ABG=××4=．

解法二：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．

∵BC∥AG，[来源:Z§xx§k.Com]

∴∠BCF=∠FDG，

∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，

∴△BCF≌△GDF，

∴BC=DG，BF=FG，

∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，

∴AB=AG，∵BF=FG，

∴BF⊥AF，∠ABF=∠G=∠CBF，

∵FH⊥BA，FC⊥BC，

∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，

∴BC=BH，AD=AH，

由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，

在Rt△ABT中，∵AB²=BT²+AT²，

∴（x+4）²=4²+（4﹣x）²，

∴x=1，

∴BC=BH=TD=1，AB=5，

设AK=EK=y，DE=z，

∵AE²=AK²+EK²=AD²+DE²，BE²=BK²+KE²=BC²+EC²，

∴4²+z²=2y²①，

（5﹣y）²+y²=1²+（4﹣z）²②

由②得到25﹣10y+2y²=17﹣8z+z²③，

①代入③可得z=④

④代入①可得y=（负根已经舍弃），

∴S_△ABE=×5×=，

故选D．