如图1，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．

（1）求k的值；

（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；

（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

答案

【解答】解：（1）把A（2，1）代入y=

得k=2×1=2；

（2）作BH⊥AD于H，如图1，

把B（1，a）代入反比例函数解析式y=

得a=2，

∴B点坐标为（1，2），

∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，

∴△ABH为等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∴tan∠DAC=tan30°=；

∵AD⊥y轴，

∴OD=1，AD=2，

∵tan∠DAC==，

∴CD=2，

∴OC=1，

∴C点坐标为（0，﹣1），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（2，1）、C（0，﹣1）代入

得，

解，

∴直线AC的解析式为y=x﹣1；

（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），

∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，

∴N点的横坐标为t，

∴N点坐标为（t， t﹣1），

∴MN=﹣（t﹣1）=﹣t+1，

∴S_△CMN=•t•（﹣t+1）

=﹣t²+t+

=﹣（t﹣）²+（0＜t＜2），

∵a=﹣＜0，

∴当t=时，S有最大值，最大值为．