已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.
解:(1) 把点O(0,0)代入解析式y=x2-2mx+m2-1,
得0=m2-1,解得m=±1,
∴二次函数解析式为y=x2+2x或y=x2-2x;……………(3分)
(2)当m=2时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴点D的坐标为(2,-1),
当x=0时,y=3,
∴点C的坐标为(0,3);………………………………………(6分)
(3)存在.………………………………………………………(7分)
如解图,连接CD,交x轴于点P,则点P为所求.
设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0),将点C(0,3)、D(2,
-1)代入,得
,解得,
∴直线CD的解析式为y=-2x+3.
当y=0时,-2x+3=0,x=,
∴P点的坐标为(,0).………………………………………(9分)
第3题解图
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