解：(1)设直线AB的函数关系式为y＝ax＋b(a≠0)，

对于抛物线y＝－x²＋x＋1，

令x＝0，得y＝1，即有A(0，1)，

将点A的坐标代入直线AB的函数关系式，得b＝1，

令x＝3，得y＝，即有B(3，)，

将点B的坐标代入直线AB的函数关系式，得a＝，

∴直线AB的函数关系式为y＝x＋1；………………………(3分)

(2)显然OP＝t，即P(t，0)，

将x＝t代入抛物线解析式可得y＝－t²＋t＋1，

即N(t，－t²＋t＋1)，

将x＝t代入直线AB的函数关系式可得y＝t＋1，

即M(t，t＋1)，

∴s＝MN＝－t²＋t＋1－(t＋1)，

∴s＝－t²＋t(0≤t≤3)；……………………………………(6分)

(3)显然NM∥BC，

∴要使得四边形BCMN为平行四边形，只要MN＝BC，

即s＝－t²＋t＝，

解得t＝1或t＝2.

①当t＝1时，M(1，)，

∴MP＝，CP＝OC－OP＝2.

在Rt△MPC中，CM＝＝＝BC，

∴四边形BCMN为菱形；

②当t＝2时，M(2，2)，

∴MP＝2，CP＝1.

在Rt△MPC中，CM＝＝≠BC.

∴四边形BCMN不是菱形．

综上，当t＝1或t＝2时，四边形BCMN为平行四边形；当t＝1

时，平行四边形BCMN为菱形．……………………………(9分)

解：(1)令y＝0，则有x²－x－9＝0，

解得x₁＝－3，x₂＝6，

∴点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(6，0)，

∴AB＝9，………………………………………………………(1分)

∵抛物线与y轴的交点坐标是(0，－9)，

∴OC＝9；……………………………………………………(2分)

(2)设△ADE的边AE上的高为h，

∵直线l∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴＝，即＝，

∴h＝m，………………………………………………………(4分)

∴S＝m²(0＜m＜9)；…………………………………………(5分)

(3)∵＝－＝m－m²

                      ＝－(m－)²＋(0＜m＜9)，

∴当m＝时，△CDE的面积最大，最大面积是，………(7分)

∴BE＝AB－AE＝，

∴＝××9＝，

∵BC＝＝＝3，

∴点E到BC的距离为2×÷3＝，

∴以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为π×()²＝π.

…………………………………………………………………(9分)

解：(1) 把点O(0，0)代入解析式y＝x²－2mx＋m²－1，

得0＝m²－1，解得m＝±1，

∴二次函数解析式为y＝x²＋2x或y＝x²－2x；……………(3分)

(2)当m＝2时，y＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1，

∴点D的坐标为(2，－1)，

当x＝0时，y＝3，

∴点C的坐标为(0，3)；………………………………………(6分)

(3)存在．………………………………………………………(7分)

如解图，连接CD，交x轴于点P，则点P为所求．

设直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C(0，3)、D(2，

－1)代入，得

，解得，

∴直线CD的解析式为y＝－2x＋3.

当y＝0时，－2x＋3＝0，x＝，

∴P点的坐标为(，0)．………………………………………(9分)

第3题解图

D　【解析】易证明△AEG≌△BFE≌△CGF，如解图，过点G作GH⊥AB于点H，则GH＝AG·sin60°＝(2－x)×，则＝AE·GH＝－(x－1)²＋，易求＝，∴y＝－3＝(x－1)²＋(0≤x≤2)，根据二次函数的性质可知，此函数为开口向上，且顶点为(1，)的有限图象，只有D符合．

解：(1)∵抛物线y＝x²＋x＋c与x轴没有交点，

∴方程x²＋x＋c＝0无解，…………………………………(2分)

即b²－4ac＝1－2c＜0，解得c＞；…………………………(3分)

(2)直线y＝cx＋1经过一、二、三象限，理由如下：

∵c＞＞0，则一次函数y＝cx＋1中c＞0，b＝1＞0，

∴直线y＝cx＋1经过一、二、三象限．……………………(6分)