已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.
解:(1)解:结论AE=EF=AF.
理由:如图1中,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC,∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,
∵∠EAF=60°,∴∠CAF=∠DAF=30°,∴AF⊥CD,
∴AE=AF(菱形的高相等),
∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=AF.
(2)证明:如图2中,∵∠BAC=∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAE,
在△BAE和△CAF中,,∴△BAE≌△CAF,∴BE=CF.
(3)解:过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,
∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,∴∠AEB=45°,
在RT△AGB中,∵∠ABC=60°AB=4,∴BG=2,AG=2,
在RT△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,∴AG=GE=2,∴EB=EG﹣BG=2﹣2,
∵△AEB≌△AFC,∴AE=AF,EB=CF=2﹣2,∠AEB=∠AFC=45°,
∵∠EAF=60°,AE=AF,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°,∠AEF=60°,∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°,
在RT△EFH中,∠CEF=15°,∴∠EFH=75°,
∵∠AFE=60°,∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°,
∵∠AFC=45°,∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°,
在RT△CHF中,∵∠CFH=30°,CF=2﹣2,
∴FH=CF•cos30°=(2﹣2)•=3﹣.
∴点F到BC的距离为3﹣.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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