如图,在矩形ABCD中,AD=60cm,CD=80cm,连接AC、BD.动点P从点D出发,以5cm/s速

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  • 难度: 使用次数:15 入库时间:2017-01-11

    如图,在矩形ABCD中,AD=60cmCD=80cm,连接ACBD.动点P从点D出发,以5cm/s速度沿边DC匀速向点C运动,到达点C即停止,过点PBD的垂线,垂足为T.设点P运动的时间为t s

    1)当APBD时,AP的长是多少?

    2)设APT面积为ycm2),求yt之间的函数关系式?并写出自变量t的取值范围;

    3)在P点的运动过程中,APT的面积能否达到矩形ABCD面积的?若能达到,求出此时t的值;若不能,说明理由.

    答案


    【考点】相似形综合题.

    【分析】1)先根据勾股定理求出BD,再证明APD∽△BDA,得出比例式,即可求出AP

    2)分两种情况:0t9时,点T位于AOP的内部时,作AGBDG;先证明DPT∽△DBC,得出对应边成比例,即,得出DT=4tPT=3t;再由ADAB=BDAG,求出AG=48SAPT=SAOPSATOSOTP=×60×5t×4t×48×4t×3t,即可得出yt的函数关系式;

    9t16时,点T位于AOP的外部时,由得:SAPT=SATO+SOTPSAOP=6t254t,即可得出结果;

    3)当t=9时,ATP三点在一条直线上,点ATP不构成三角形;分两种情况:0t9时,列出方程求解看有无实数根即可;

    9t16时,列出方程求解看有无实数根即可.

    【解答】解:(1)当APBD时,垂足为G,如图1所示:

    BGAD=90°

    ∴∠BAG+ABD=90°

    四边形ABCD是矩形,

    AB=CD=80cmBAD=ADP=90°

    BD===100BAG+DAP=90°

    ∴∠DAP=ABD

    ∴△APD∽△BDA

    ,即

    AP=75

    2)当ATP三点在一条直线上,点ATP不构成三角形,

    此时,PD==45t==9

    分两种情况:

    0t9时,点T位于AOP的内部,如图2所示:

    AGBDG

    PTBD

    ∴∠PTD=90°

    ∴∠PTD=BCD=90°

    ∵∠PDT=BDC

    ∴△DPT∽△DBC

    ,即

    DT=4tPT=3t

    ADAB=BDAG,可得:AG=48

    SAPT=SAOPSATOSOTP

    =×60×5t×4t×48×4t×3t

    =6t2+54t

    y=6t2+54t

    9t16时,点T位于AOP的外部时,如图3所示:

    AGBDG

    此时SAPT=SATO+SOTPSAOP=6t254t

    y=6t254t

    综上所述:当0t9时,y=6t2+54t;当9t16时,y=6t254t

    3)不能;理由如下:

    矩形ABCD的面积=80×60=4800,若SAPT=S矩形ABCD=1200

    0t9时,﹣6t2+54t=1200,即t29t+200=0

    此时,=(﹣924×1×2000

    该方程无实数根.

    0t9时,以APT为顶点的APT的面积不能达到矩形ABCD面积的

    9t16时,6t254t=1200,即t29t200=0

    解得:t=(负值舍去),

    881625=252

    t==17

    而此时9t16

    t=也不符合题意,应舍去.

    9t16时,以APT为顶点的APT的面积也不能达到矩形ABCD面积的

    综上所述,以APT为顶点的APT的面积不能达到矩形ABCD面积的

    【点评】本题是相似形综合题,考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算方法、一元二次方程的解法等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(2)(3)中,需要通过作辅助线和分类讨论的方法,通过证明三角形相似和解方程才能得出结果.

     

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