-
难度：
使用次数：15
入库时间：2017-01-11
如图，在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=80cm，连接AC、BD．动点P从点D出发，以5cm/s速度沿边DC匀速向点C运动，到达点C即停止，过点P作BD的垂线，垂足为T．设点P运动的时间为t s．
（1）当AP⊥BD时，AP的长是多少？
（2）设△APT面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式？并写出自变量t的取值范围；
（3）在P点的运动过程中，△APT的面积能否达到矩形ABCD面积的
？若能达到，求出此时t的值；若不能，说明理由．
答案
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）先根据勾股定理求出BD，再证明△APD∽△BDA，得出比例式
，即可求出AP；（2）分两种情况：①当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部时，作AG⊥BD于G；先证明△DPT∽△DBC，得出对应边成比例
，即
，得出DT=4t，PT=3t；再由AD•AB=BD•AG，求出AG=48，S△APT=S△AOP﹣S△ATO﹣S△OTP=
×60×5t﹣×4t×48﹣×4t×3t，即可得出y与t的函数关系式；②当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部时，由①得：S△APT=S△ATO+S△OTP﹣S△AOP=6t2﹣54t，即可得出结果；
（3）当t=9时，A，T，P三点在一条直线上，点A，T，P不构成三角形；分两种情况：①当0＜t＜9时，列出方程求解看有无实数根即可；
②当9＜t≤16时，列出方程求解看有无实数根即可．
【解答】解：（1）当AP⊥BD时，垂足为G，如图1所示：
则∠BGAD=90°，
∴∠BAG+∠ABD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=80cm，∠BAD=∠ADP=90°，
∴BD=
=
=100，∠BAG+∠DAP=90°，∴∠DAP=∠ABD，
∴△APD∽△BDA，
∴
，即
，∴AP=75；
（2）当A，T，P三点在一条直线上，点A，T，P不构成三角形，
此时，PD=
=45，t=
=9；∴分两种情况：
①当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部，如图2所示：
作AG⊥BD于G；
∵PT⊥BD，
∴∠PTD=90°，
∴∠PTD=∠BCD=90°，
又∵∠PDT=∠BDC，
∴△DPT∽△DBC，
∴
，即
，∴DT=4t，PT=3t；
由AD•AB=BD•AG，可得：AG=48，
∴S△APT=S△AOP﹣S△ATO﹣S△OTP
=
×60×5t﹣×4t×48﹣×4t×3t=﹣6t2+54t，
∴y=﹣6t2+54t；
②当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部时，如图3所示：
作AG⊥BD于G，
此时S△APT=S△ATO+S△OTP﹣S△AOP=6t2﹣54t，
∴y=6t2﹣54t；
综上所述：当0＜t＜9时，y=﹣6t2+54t；当9＜t≤16时，y=6t2﹣54t；
（3）不能；理由如下：
∵矩形ABCD的面积=80×60=4800，若S△APT=
S矩形ABCD=1200，①当0＜t＜9时，﹣6t2+54t=1200，即t2﹣9t+200=0．
此时，△=（﹣9）2﹣4×1×200＜0，
∴该方程无实数根．
∴当0＜t＜9时，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形ABCD面积的
；②当9＜t≤16时，6t2﹣54t=1200，即t2﹣9t﹣200=0．
解得：t=
（负值舍去），∵881＞625=252，
∴t=
＞
=17，而此时9＜t≤16，
∴t=
也不符合题意，应舍去．∴当9＜t≤16时，以A，P，T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形ABCD面积的
；综上所述，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形ABCD面积的
．
【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算方法、一元二次方程的解法等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线和分类讨论的方法，通过证明三角形相似和解方程才能得出结果．