如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：

①△ABC≌△EAD；

②△ABE是等边三角形；

③AD=AF；

④S_△ABE=S_△CDE；

⑤S_△ABE=S_△CEF．

其中正确的是（　　）

A．①②③     B．①②④     C．①②⑤     D．①③④

答案

C【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定；等边三角形的判定．

【专题】压轴题．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，又因为AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，所以可得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，则∠ABE=∠EAD=60°，所以△ABC≌△EAD（SAS）；因为△FCD与△ABD等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），所以S_△FCD=S_△ABD，又因为△AEC与△DEC同底等高，所以S_△AEC=S_△DEC，所以S_△ABE=S_△CEF．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAD=∠AEB，

又∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

∵AB=AE，

∴△ABE是等边三角形；②正确；

∴∠ABE=∠EAD=60°，

∵AB=AE，BC=AD，

∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；

∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），

∴S_△FCD=S_△ABC，

又∵△AEC与△DEC同底等高，

∴S_△AEC=S_△DEC，

∴S_△ABE=S_△CEF；⑤正确．

若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC

即EC=CD=BE

即BC=2CD，

题中未限定这一条件

∴③④不一定正确；

故选C．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．