(1)操作发现:如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将AB∈沿BE折叠后得到GB∈,且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为Gf=Df,你同意吗?说明理由(2)问题解决:保持(1)

（1）操作发现：

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．

（2）问题解决：

保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；

（3）类比探求：

保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．

答案

【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；

（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；

（3）方法同（2）．

【解答】解：（1）同意，连接EF，

则根据翻折不变性得，

∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），

∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y

∵DC=2DF，

∴CF=x，DC=AB=BG=2x，

∴BF=BG+GF=3x；

在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²

∴y=2x，

∴；

（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y

∵DC=nDF，

∴BF=BG+GF=（n+1）x

在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n﹣1）x]²=[（n+1）x]²

∴y=2x，

∴或．

【点评】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．

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八下第十八章平行四边形

特殊的平行四边形

试题详情

难度：

使用次数：146

更新时间：2021-05-12

纠错

（1）操作发现：

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．

（2）问题解决：

保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；

（3）类比探求：

保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．

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题型：解答题

知识点：特殊的平行四边形

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【答案】

【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；

（3）方法同（2）．

【解答】解：（1）同意，连接EF，

则根据翻折不变性得，

∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），

∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y

∵DC=2DF，

∴CF=x，DC=AB=BG=2x，

∴BF=BG+GF=3x；

在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²

∴y=2x，

∴；

（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y

∵DC=nDF，

∴BF=BG+GF=（n+1）x

在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n﹣1）x]²=[（n+1）x]²

∴y=2x，

∴或．

【点评】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．

考点梳理:

根据可圈可点权威老师分析，试题“ ”主要考查你对矩形，矩形的性质，矩形的判定等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下：

◎ 矩形，矩形的性质，矩形的判定的定义

矩形:
是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

◎ 矩形，矩形的性质，矩形的判定的知识扩展

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。
3、矩形的判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。

◎ 矩形，矩形的性质，矩形的判定的特性

矩形的性质：
1．矩形的4个内角都是直角；
2．矩形的对角线相等且互相平分；
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

◎ 矩形，矩形的性质，矩形的判定的知识点拨

矩形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。

◎ 矩形，矩形的性质，矩形的判定的知识拓展

黄金矩形:
宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

◎ 矩形，矩形的性质，矩形的判定的教学目标

1、掌握矩形的性质，判定，并能够运用综合法和严密的数学语言进行推理论证。
2、经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力。
3、通过独立完成证明的过程，体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

◎ 矩形，矩形的性质，矩形的判定的考试要求

能力要求：掌握
课时要求：130
考试频率：常考
分值比重：7

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特殊的平行四边形

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使用次数：131

更新时间：2021-07-14

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如图（1），将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为，则这个旋转角度为______度。如图（2），将上述两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一个等腰直角三角形沿AC移动，若重叠部分△A’PC的面积是1cm²，则它移动的距离AA’等于_______cm。