如图,点P( x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a ≤ x ≤ b时,有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”,否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”.例如,点P(x, y1)与Q (x, y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点,当-3 ≤ x ≤ -1时,y1- y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2,通过构造函数y = x + 2并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质,得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1,所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立,因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”,并说明理由;
(2)若函数y = x2- x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”,求a的取值范围;
(3)若函数y =与y =-2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.
【试题解析】(1)是“相邻函数”.
理由如下:
,构造函数.
∵在上随着的增大而增大,
∴当时,函数有最大值1,当时,函数有最小值-1,即.
∴.
即函数与在上是“相邻函数”.
(2),构造函数.
∵,
∴顶点坐标为.
又∵抛物线的开口向上,
∴当时,函数有最小值,当或时,函数有最大值,即,
∵函数与在上是 “相邻函数”,
∴,即
∴.
(3)利用数形结合的思想,先求y =-2x + 4在1 ≤ x ≤ 2时0 ≤ y ≤ 2,若反比例分别过(1.1),(2,1)时分别求出的值,从而可知的范围。所以的最大值是2,的最小值1.
理解函数的概念应扣住下面三点:
(1)函数的概念由三句话组成:“两个变量”,“x的每一个值”,“y有惟一确定的值”;
(2)判断两个变量是否有函数关系不仅看它们之间是否有关系式存在,更重要地是看对于x的每一个确定的值。y是否有惟一确定的值和它对应;(3)函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
函数的表示方法:
(1)解析法:两个变量之间的关系有时可以用含有这两个变量及数学运算符号的等式来表示,这种表示方法叫做解析法.
(2)列表法:把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数关系,这种表示方法叫做列表法.
(3)图象法:用图象表示函数关系的方法叫做图象法.
登录并加入会员可无限制查看知识点解析