在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图23-2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图23-2中的CE缩短到图23-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（直接写出结论，不必证明）．
 |
 |
 |
答案
（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，
又∵点N与点G重合，点M与点C重合，
∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．
∴△FBM ≌ △MDH．∴FM = MH
∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM⊥HM
（2）证明：连接MB、MD，如图23-2，设FM与AC交于点P．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，
且MB=CD=DH
∴四边形BCDM是平行四边形．∴ ∠CBM =∠CDM
又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．∴△FBM ≌ △MDH
∴FM = MH， 且∠MFB =∠HMD
又∵MD∥BC，∴∠FMD＝∠APM，
∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．
∴△FMH是等腰直角三角形
（3）解：△FMH是等腰直角三角形…
 |
 |
 |
