如图1,抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),抛物线顶点为D,连接AC,BC,CD,BD,点P是x轴下方抛物线上的一个动点,作PM⊥x轴于点M,设点M的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)试探究是否存在这样的点P,使得以P,M,B为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,PM交线段BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交线段BC于点F,请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出当m为何值时QF有最大值.
【解析】(1)设抛物线解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),
将C(0,-3),代入可得:﹣3a=﹣3,解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3,
根据顶点坐标公式得出D的坐标为
∴点D的坐标为(1,﹣4);
(2)由(1)知,点B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3)、(1,﹣4),
则BC=3 ,CD=,BD=,
则△BCD是直角三角形,∠BCD=90°,
①当△PMB∽△BCD时,
则∠MPB=∠DBC,即:tan∠MPB=tan∠DBC= ,
∵点M(m,0),则点P(m,m2﹣2m﹣3),
tan∠MPB=,
解得:m=2或3(舍去3),
故点P(2,﹣3);
②当△BMP∽△BCD时,
同理可得:点P(﹣,﹣);
故点P的坐标为:(2,﹣3)或(﹣,﹣);
(3)设QF为y,作FH⊥PM于点H,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°
则FH=QH=y,
∵PE∥AC,PM∥OC,则∠PEM=∠HFP=∠CAO,
∴△FHP∽△AOC,则PH=3FH=y,
∴PQ==2y,
根据点B、C的坐标求出直线BC的表达式为:y=x﹣3,
则点P(m,m2﹣2m﹣3),点Q(m,m﹣3),
所以PQ=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,即:2y=﹣m2+3m,
则y=,.
∴当m=时,QF有最大值.
如图(1)所示,等边△ABC中,线段AD为其内角角平分线,过D点的直线B1C1⊥AC于点C1交AB的延长线于点B1.
(1)请你探究:=,=是否都成立?
(2)请你继续探究:若△ABC为任意三角形,线段AD为其内角角平分线,请问=一定成立吗?并证明你的判断.
(3)如图(2)所示Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=,E为AB上一点且AE=5,CE交其内角角平分线AD于F.试求的值.
【解析】(1)两个等式都成立.理由如下:
∵△ABC为等边三角形,AD为角平分线,
∴AD垂直平分BC,∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC,
∴DB=CD,
∴=,
∵∠C1AB1=60°,
∴∠B1=30°,
∴AB1=2AC1,
又∠DAB1=30°,
∴DA=DB1,
而DA=2DC1,
∴DB1=2DC1,
∴=;
(2)结论仍然成立,理由如下:
如图所示,
△ABC为任意三角形,过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点,
∴∠E=∠CAD=∠BAD,
∴BE=AB,
∵BE∥AC,
∴△EBD∽△ACD,
∴=,
而BE=AB,
∴=.
(3)如图,连接DE,
∵AD为△ABC的内角角平分线,
∴===,==,
又==,
∴=,
∴DE∥AC,
∴△DEF∽△ACF,
∴==.
某花店用3600元按批发价购买了一批花卉.若将批发价降低10%,则可以多购买该花卉20盆.市场调查反映,该花卉每盆售价25元时,每天可卖出25盆.若调整价格,每盆花卉每涨价1元,每天要少卖出1盆.
(1)该花卉每盆批发价是多少元?
(2)若每天所得的销售利润为200元时,且销量尽可能大,该花卉每盆售价是多少元?
(3)为了让利给顾客,该花店决定每盆花卉涨价不超过5元,问该花卉一天最大的销售利润是多少元?
【解析】(1)设该花卉每盆批发价为x元,由题意得
,解得
经检验是原方程的解
答:该花卉每盆批发价是20元
(2)设该花卉每盆售价x元,由题意得
化简得
解得 , ,
销量尽可能大,
答:该花卉每盆售价是30元
(3)设该花卉每天的利润为W元,每盆售价为x元,依题意得
每盆花卉涨价不超过5元,
时,W随x的增大而增大,
当x=30是,有最大值为200;
答:该花卉一天最大的销售利润是200元
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC、AB于点E. F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=2,BF=2,求⊙O的半径.
【解析】(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切,
理由是:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,即OD⊥BC,
∵OD为半径,
∴直线BC与⊙O的位置关系是相切;
(2)设⊙O的半径为R,
则OD=OF=R,
在Rt△BDO中,由勾股定理得:OB2=BD2+OD2,
即(R+2)2=(2)2+R2,
解得:R=2,
即⊙O的半径是2.
在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度,画出平移后得到的△A1B1C1;
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2;
(3)直接写出点B2,C2的坐标.
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求;
(2)如图,△AB2C2即为所求,点B2(4,﹣2),C2(1,﹣3).
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