如图,抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C,对称轴为直线x=1,且经过点A(3,-1),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)经过点A的直线交抛物线于点P,交x轴于点Q,若S△OPA=2S△OQA,试求出点P的坐标.
【解析】(1)由题意得:,
解得:,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+2;
(2)∵由y=-x2+2x+2得:当x=0时,y=2,
∴B(0,2),
由y=-(x-1)2+3得:C(1,3),
∵A(3,-1),
∴AB=3,BC=,AC=2,
∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)①如图,当点Q在线段AP上时,
过点P作PE⊥x轴于点E,AD⊥x轴于点D
∵S△OPA=2S△OQA,
∴PA=2AQ,
∴PQ=AQ
∵PE∥AD,
∴△PQE∽△AQD,
∴==1,
∴PE=AD=1
∵由-x2+2x+2=1得:x=1,
∴P(1+,1)或(1-,1),
②如图,当点Q在PA延长线上时,
过点P作PE⊥x轴于点E,AD⊥x轴于点D
∵S△OPA=2S△OQA,
∴PA=2AQ,
∴PQ=3AQ
∵PE∥AD,
∴△PQE∽△AQD,
∴==3,
∴PE=3AD=3
∵由-x2+2x+2=-3得:x=1±,
∴P(1+,-3),或(1-,-3),
综上可知:点P的坐标为(1+,1)、(1-,1)、(1+,-3)或(1-,-3).
如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E在边BC上,BE=BC,AE交OB于点F,过点B作AE的垂线BG交OC于点G,连接GE.
(1)求证:OF=OG.
(2)用含有n的代数式表示tan∠OBG的值.
(3)若BF=2,OF=1,∠GEC=90°,直接写出n的值.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=BO,AC⊥BD,
∴∠AFO+∠FAO=90°,
∵AE⊥BG,
∴∠BFE+∠FBG=90°,且∠BFE=∠AFO,
∴∠FAO=∠FBG,且OA=OB,∠AOF=∠BOG,
∴△AOF≌△BOG(ASA),
∴OF=OG;
(2)以B为原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
∵BE=BC,
∴设BC=n,则BE=1,
∴点A(0,n),点E(1,0),点C坐标(n,0),
∴直线AC解析式为:y=﹣x+n,
直线AE解析式为:y=﹣nx+n,
∵BG⊥AE,
∴直线BG的解析式为:y=x,
∴x=﹣x+n,
∴x=,
∴点G坐标(,),
∵点A(0,n),点E(1,0),点C坐标(n,0),
∴BO=n,点O坐标(,),
∴OG=,
∴tan∠OBG=;
(3)∵OB=OF+BF,BF=2,OF=1,
∴OB=3,且OF=OG,OC=OB,BO⊥CO,
∴OC=3,OG=1,BC=3,
∴CG=2,
∵∠GEC=90°,∠ACB=45°,
∴GE=EC=,
∴BE=BC﹣EC=2,
∴,
∴BE=BC=BC,
∴n=.
某校两次购买足球和篮球的支出情况如表:
足球(个) | 篮球(个) | 总支出(元) | |
第一次 | 2 | 3 | 310 |
第二次 | 5 | 2 | 500 |
(1)求购买一个足球、一个篮球的花费各需多少元?(请列方程组求解)
(2)学校准备给帮扶的贫困学校送足球、篮球共计60个,恰逢市场对两种球的价格进行了调整,足球售价提高了10%,篮球售价降低了10%,如果要求一次性购得这批球的总费用不超过4000元,那么最多可以购买多少个足球?
【解析】(1)设购买一个足球需要x元,购买一个篮球的花费需要y元,
根据题意,得,
解得:.
答:购买一个足球和一个篮球的花费各需要80和50元;
(2)设购买a个足球,根据题意,得:
(1+10%)×80a+(1﹣10%)×50(60﹣a)≤4000,
解得:a≤,
又∵a为正整数,
∴a的最大值为30.
答:最多可以购买30个足球.
如图1,△ABC是等腰三角形,O是底边BC中点,腰AB与⊙O相切于点D
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)如图2,连接CD,若tan∠BCD=,⊙O的半径为,求BC的长.
【解析】(1)证明:连接OD,OA,作OF⊥AC于F,如图,
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC,
∵AB与⊙O相切于点D,
∴OD⊥AB,
而OF⊥AC,
∴OF=OD,
∴AC是⊙O的切线;
(2)过D作DF⊥BC于F,连接OD,
∵tan∠BCD=,
∴,
设DF=a,OF=x,则CF=4a,OC=4a﹣x,
∵O是底边BC中点,
∴OB=OC=4a﹣x,
∴BF=OB﹣OF=4a﹣2x,
∵OD⊥AB,
∴∠BDO=90°,
∴∠BDF+∠FDO=90°,
∵DF⊥BC,
∴∠DFB=∠OFD=90°,∠FDO+∠DOF=90°,
∴∠BDF=∠DOF,
∴△DFO∽△BFD,
∴,
∴,
解得:x1=x2=a,
∵⊙O的半径为,
∴OD=,
∵DF2+FO2=DO2,
∴(x)2+x2=()2,
∴x1=x2=a=1,
∴OC=4a﹣x=3,
∴BC=2OC=6.
如图,在下列9×9的网格中,横纵坐标均为整数的点叫做格点,例如:A(1,1)、B(8,3)都是格点,E、F为小正方形边的中点,C为AE、BF的延长线的交点.
(1)AE的长等于 ;
(2)若点P在线段AC上,点Q在线段BC上,且满足AP=PQ=QB,请在如图示所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段PQ,并直接写出P、Q两点的坐标.
【解析】(1)AE=;
故答案为:;
(2)如图,AC与网格线相交,得到P,取格点M,连接AM,并延长与BC交于Q,连接PQ,则线段PQ即为所求.
故答案为:AC与网格线相交,得到P,取格点M,连接AM,并延长与BC交于Q,连接PQ,则线段PQ即为所求.
∴P(3,4),Q(6,6).
本卷还有19题,登录并加入会员即可免费使用哦~
该作品由: 用户王德华分享上传
可圈可点是一个信息分享及获取的平台。不确保部分用户上传资料的来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益,请联系 可圈可点 ,我们核实后将及时进行处理。