如图11所示,已知抛物线与
轴交于A、B两点,与
轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG
轴
于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.
若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
解:(1)令,得
解得
令,得
∴ A B
C
・・・・ (2分)
(2)∵OA=OB=OC= ∴
BAC=
ACO=
BCO=
∵AP∥CB, ∴PAB=
过点P作PE轴于E,则
APE为等腰直角三角形
令OE=,则PE=
∴P
∵点P在抛物线上 ∴
解得,
(不合题意,舍去)
∴PE=・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 4分)
∴四边形ACBP的面积=
AB•OC+
AB•PE
=・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 6分)
(3). 假设存在
∵PAB=
BAC =
∴PA
AC
∵MG轴于点G, ∴
MGA=
PAC =
在Rt△AOC中,OA=OC= ∴AC=
在Rt△PAE中,AE=PE= ∴AP=
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 7分)
设M点的横坐标为,则M
①点M在轴左侧时,则
() 当
AMG
PCA时,有
=
∵AG=,MG=
即
解得(舍去)
(舍去)
() 当MAG
PCA时有
=
即
解得:(舍去)
∴M ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (10分)
② 点M在轴右侧时,则
() 当AMG
PCA时有
=
∵AG=
,MG=
∴
解得(舍去)
∴M
() 当MAG
PCA时有
=
即
解得:(舍去)
∴M
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似
M点的坐标为,
,
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (13分)