和
都是等边三角形．
(1) 将 绕点 A 旋转到图 ① 的位置时，连接 BD ， CE 并延长相交于点 P （点 P 与点 A 重合），有
（或
）成立；请证明．
(2) 将 绕点 A 旋转到图 ② 的位置时，连接 BD ， CE 相交于点 P ，连接 PA ，猜想线段 PA 、 PB 、 PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3) 将 绕点 A 旋转到图 ③ 的位置时，连接 BD ， CE 相交于点 P ，连接 PA ，猜想线段 PA 、 PB 、 PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
答案
(1) 证明见解析
(2) 图 ② 结论： ，证明见解析
(3) 图 ③ 结论：
【分析】（ 1 ）由 △ ABC 是等边三角形，得 AB = AC ，再因为点 P 与点 A 重合，所以 PB = AB ， PC = AC ， PA =0 ，即可得出结论；
（ 2 ）在 BP 上截取 ，连接 AF ，证明
（ SAS ），得
，再证明
（ SAS ），得
，
，然后证明
是等边三角形，得
，即可得出结论；
（ 3 ）在 CP 上截取 ，连接 AF ，证明
（ SAS ），得
，再证明
（ SAS ），得出
，
，然后证明
是等边三角形，得
，即可得出结论：
．
【详解】（ 1 ）证明： ∵△ ABC 是等边三角形，
∴ AB = AC ，
∵ 点 P 与点 A 重合，
∴ PB = AB ， PC = AC ， PA =0 ，
∴ 或
；
（ 2 ）解：图 ② 结论：
证明：在 BP 上截取 ，连接 AF ，
∵ 和
都是等边三角形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
∵ AC = AB ， CP = BF ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：图 ③ 结论： ，
理由：在 CP 上截取 ，连接 AF ，
∵ 和
都是等边三角形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
∵ AB = AC ， BP = CF ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
