【思维探究】如图 1 ，在四边形 ABCD 中， ∠ BAD ＝ 60° ， ∠ BCD ＝ 120° ， AB ＝ AD ，连接 AC ．求证： BC + CD ＝ AC ．
(1) 小明的思路是：延长 CD 到点 E ，使 DE ＝ BC ，连接 AE ．根据 ∠ BAD +∠ BCD ＝ 180° ，推得 ∠ B +∠ ADC ＝ 180° ，从而得到 ∠ B ＝ ∠ ADE ，然后证明 ADE ≌
ABC ，从而可证 BC + CD ＝ AC ，请你帮助小明写出完整的证明过程．
(2) 【思维延伸】如图 2 ，四边形 ABCD 中， ∠ BAD ＝ ∠ BCD ＝ 90° ， AB ＝ AD ，连接 AC ，猜想 BC ， CD ， AC 之间的数量关系，并说明理由．
(3) 【思维拓展】在四边形 ABCD 中， ∠ BAD ＝ ∠ BCD ＝ 90° ， AB ＝ AD ＝ ， AC 与 BD 相交于点 O ．若四边形 ABCD 中有一个内角是 75° ，请直接写出线段 OD 的长．
答案
(1) AC = BC + CD ；理由见详解；
(2) CB + CD = AC ；理由见详解；
(3) 或
【分析】（ 1 ）如图 1 中，延长 CD 到点 E ，使 DE = BC ，连接 AE ．证明 △ ADE ≌△ ABC （ SAS ），推出 ∠ DAE =∠ BAC ， AE = AC ，推出 △ ACE 的等边三角形，可得结论；
（ 2 ）结论： CB + CD = AC ．如图 2 中，过点 A 作 AM ⊥ CD 于点 M ， AN ⊥ CB 交 CB 的延长线于点 N ．证明 △ AMD ≌△ ANB （ AAS ），推出 DM = BN ， AM = AN ，证明 Rt △ ACM ≌ Rt △ ACN （ HL ），推出 CM = CN ，可得结论；
（ 3 ）分两种情形：如图 3-1 中，当 ∠ CDA =75° 时，过点 O 作 OP ⊥ CB 于点 P ， CQ ⊥ CD 于点 Q ．如图 3-2 中，当 ∠ CBD =75° 时，分别求解即可．
【详解】（ 1 ）证明：如图 1 中，延长 CD 到点 E ，使 DE = BC ，连接 AE ．
∵∠ BAD +∠ BCD =180° ，
∴∠ B +∠ ADC =180° ，
∵∠ ADE +∠ ADC =180°
∴∠ B =∠ ADE ，
在 △ ADE 和 △ ABC 中，
，
∴△ ADE ≌△ ABC （ SAS ），
∴∠ DAE =∠ BAC ， AE = AC ，
∴∠ CAE =∠ BAD =60° ，
∴△ ACE 的等边三角形，
∴ CE = AC ，
∵ CE = DE + CD ，
∴ AC = BC + CD ；
（ 2 ）解：结论： CB + CD = AC ．
理由：如图 2 中，过点 A 作 AM ⊥ CD 于点 M ， AN ⊥ CB 交 CB 的延长线于点 N ．
∵∠ DAB =∠ DCB =90° ，
∴∠ CDA +∠ CBA =180° ，
∵∠ ABN +∠ ABC =180° ，
∴∠ D =∠ ABN ，
∵∠ AMD =∠ N =90° ， AD = AB ，
∴△ AMD ≌△ ANB （ AAS ），
∴ DM = BN ， AM = AN ，
∵ AM ⊥ CD ， AN ⊥ CN ，
∴∠ ACD =∠ ACB =45° ，
∴ AC = CM ，
∵ AC = AC ． AM = AN ，
∴ Rt △ ACM ≌ Rt △ ACN （ HL ），
∴ CM = CN ，
∴ CB + CD = CN BN + CM + DM =2 CM =
AC ；
（ 3 ）解：如图 3-1 中，当 ∠ CDA =75° 时，过点 O 作 OP ⊥ CB 于点 P ， CQ ⊥ CD 于点 Q ．
∵∠ CDA =75° ， ∠ ADB =45° ，
∴∠ CDB =30° ，
∵∠ DCB =90° ，
∴ CD = CB ，
∵∠ DCO =∠ BCO =45° ， OP ⊥ CB ， OQ ⊥ CD ，
∴ OP = OQ ，
∴ ，
∴ ，
∵ AB = AD = ， ∠ DAB =90° ，
∴ BD = AD =2
，
∴ OD = ．
如图 3-2 中，当 ∠ CBD =75° 时，
同法可证 ，
，
综上所述，满足条件的 OD 的长为 或
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
