如图,在平行四边形 中,
是一条对角线,且
,
,
,
是
边上两点,点
在点
的右侧,
,连接
,
的延长线与
的延长线相交于点
.
(1) 如图 1 , 是
边上一点,连接
,
,
与
相交于点
.
① 若 ,求
的长;
② 在满足 ① 的条件下,若 ,求证:
;
(2) 如图 2 ,连接 ,
是
上一点,连接
.若
,且
,求
的长.
(1)① ; ② 证明见解析
(2)
【分析】( 1 ) ① 解:根据平行四边形 的性质可证
,得到
,再根据
,
,
,结合平行四边形的性质求出
的长,代入比例式即可求出
的长;
② 先根据 证明
可得
,再根据
,
求出
,进一步证明
,最后利用等腰三角形的三线合一可证明结论.
( 2 )如图,连接 ,先根据
证明
,再结合
,说明
,利用平行线分线段成比例定理可得
,接着证明
,可得到
,设
,则
,根据
构建方程求出
,最后利用
可得结论.
【详解】( 1 ) ① 解:如图,
∵ 四边形 是平行四边形,
,
,
∴ ,
,
,
,
∴ ,
,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 的长为
.
② 证明: ∵ ,
∴ ,
∵ ,
在 和
中,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ .
( 2 )如图,连接 ,
∵ ,
,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
在 和
中,
∴ ,
∴ ,
∴
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
设 ,则
,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
即 ,
∴ ,
∴ .
∴ 的长为
.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,等腰三角形的三线合一,平行线的判定及性质,平行线分线段成比例定理等知识.灵活运用相似三角形和全等三角形的判定及性质是解答本题的关键.
三角形全等判定定理:
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了
三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以:SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
三角形全等的判定公理及推论:
(1)“边角边”简称“SAS”
(2)“角边角”简称“ASA”
(3)“边边边”简称“SSS”
(4)“角角边”简称“AAS”
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
①S.S.S. (边、边、边):
各三角形的三条边的长度都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
②S.A.S. (边、角、边):
各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
③A.S.A. (角、边、角):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
④A.A.S. (角、角、边):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边):
各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分,但不能判定全等三角形:
⑥A.A.A. (角、角、角):
各三角形的任何三个角都对应地相等,但这并不能判定全等三角形,但则可判定相似三角形。
⑦A.S.S. (角、边、边):
各三角形的其中一个角都相等,且其余的两条边(没有夹着该角),但这并不能判定全等三角形,除非是直角三角形。
但若是直角三角形的话,应以R.H.S.来判定。
解题技巧:
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等,则需要什么条件:要证某某边等于某某边,那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有:倍长中线,截长补短等。
分析完毕以后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
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