如图，已知在 Rt △ ABC 中， ， D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的半圆 O 与边 AC 相切，切点为 E ，过点 O 作
，垂足为 F ．
(1) 求证： ；
(2) 若 ，
，求 AD 的长．
答案
(1) 见解析
(2)1
【分析】（ 1 ）连接 OE ，根据已知条件和切线的性质证明四边形 OFCE 是矩形，再根据矩形的性质证明 即可；
（ 2 ）根据题意，结合（ 1 ）可知 ，再由直角三角形中 “30° 角所对的直角边是斜边的一般 ” 的性质，可推导
，最后由
计算 AD 的长即可．
【详解】（ 1 ）解：如图，连接 OE ，
∵ AC 切半圆 O 于点 E ，
∴ OE ⊥ A C ，
∵ OF ⊥ BC ， ，
∴∠ OEC ＝ ∠ OFC ＝ ∠ C ＝ 90° ．
∴ 四边形 OFCE 是矩形，
∴ OF ＝ E C ；
（ 2 ） ∵ ，
∴ ，
∵ ， OE ⊥ AC ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及含 30° 角的直角三角形性质等知识，正确作出辅助线并灵活运用相关性质是解题关键．
