华师版八年级下册数学教材第 121 页习题 19.3 第 2 小题及参考答案．
| 2 ．如图，在正方形 ABCD 中， 证明：设 CE 与 DF 交于点 O ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ |
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1) 【问题探究】如图，在正方形 ABCD 中，点 E 、 F 、 G 、 H 分别在线段 AB 、 BC 、 CD 、 DA 上，且 ．试猜想
的值，并证明你的猜想．
(2) 【知识迁移】如图，在矩形 ABCD 中， ，
，点 E 、 F 、 G 、 H 分别在线段 AB 、 BC 、 CD 、 DA 上，且
．则
______ ．
(3) 【拓展应用】如图，在四边形 ABCD 中， ，
，
，点 E 、 F 分别在线段 AB 、 AD 上，且
．求
的值．
答案
(1)1 ；证明见解析
(2)
(3)
【分析】（ 1 ）过点 A 作 AM ∥ HF 交 BC 于点 M ，作 AN ∥ EG 交 CD 的延长线于点 N ，利用正方形 ABCD ， AB ＝ AD ， ∠ ABM ＝ ∠ BAD ＝ ∠ ADN ＝ 90° 求证 △ ABM ≌△ ADN 即可．
（ 2 ）过点 A 作 AM ∥ HF 交 BC 于点 M ，作 AN ∥ EC 交 CD 的延长线于点 N ，利用在矩形 ABCD 中， BC ＝ AD ， ∠ ABM ＝ ∠ BAD ＝ ∠ ADN ＝ 90° ，求证 △ ABM ∽△ ADN ．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．
（ 3 ）先证 是等边三角形，设
，过点
，垂足为
，交
于点
，则
，在
中，利用勾股定理求得
的长，然后证
，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．
（ 1 ）
，理由为：
过点 A 作 AM ∥ HF 交 BC 于点 M ，作 AN ∥ EG 交 CD 的延长线于点 N ，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC ，
∴ 四边形 AMFH 是平行四边形，四边形 AEGN 是平行四边形，
∴ AM ＝ HF ， AN ＝ EG ，
在正方形 ABCD 中， AB ＝ AD ， ∠ ABM ＝ ∠ BAD ＝ ∠ ADN ＝ 90°
∵ EG ⊥ FH ，
∴∠ NAM ＝ 90° ，
∴∠ BAM ＝ ∠ DAN ，
在 △ ABM 和 △ ADN 中， ∠ BAM ＝ ∠ DAN ， AB ＝ AD ， ∠ ABM ＝ ∠ ADN
∴△ ABM ≌△ ADN
∴ AM ＝ AN ，即 EG ＝ FH ，
∴ ；
（ 2 ）
解：过点 A 作 AM ∥ HF 交 BC 于点 M ，作 AN ∥ EC 交 CD 的延长线于点 N ，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC ，
∴ 四边形 AMFH 是平行四边形，四边形 AEGN 是平行四边形，
∴ AM ＝ HF ， AN ＝ EG ，
在矩形 ABCD 中， BC ＝ AD ， ∠ ABM ＝ ∠ BAD ＝ ∠ ADN ＝ 90° ，
∵ EG ⊥ FH ，
∴∠ NAM ＝ 90° ，
∴∠ BAM ＝ ∠ DAN ．
∴△ ABM ∽△ ADN ，
∴ ，
∵ ，
， AM ＝ HF ， AN ＝ EG ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
（ 3 ）
解： ∵ ，
，
∴ 是等边三角形，
∴ 设 ，
过点 ，垂足为
，交
于点
，则
，
在 中，
，
∵ ，
，
∴ ，
，
又 ∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
．
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．
