如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为 (10 ， 4) ，四边形 ABEF 是菱形，且 tan∠ ABE = ．若直线 l 把矩形 OABC 和菱形 ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线 l 的解析式为（ ）
A ． B ．
C ． D ．
答案
D
【分析】过点 E 作 EG ⊥ AB 于点 G ，利用三角函数求得 EG =8 ， BG 6 ， AG =4 ，再求得点 E 的坐标为 (4 ， 12) ，根据题意，直线 l 经过矩形 OABC 的对角线的交点 H 和菱形 ABEF 的对角线的交点 D ，根据中点坐标公式以及待定系数法即可求解．
【详解】解：过点 E 作 EG ⊥ AB 于点 G ，
∵ 矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为 (10 ， 4) ，四边形 ABEF 是菱形，
∴ AB = BE =10 ，点 A 的坐标为 (0 ， 4) ，点 C 的坐标为 (10 ， 0) ，
在 Rt △ BEG 中， tan∠ ABE = ， BE =10 ，
∴sin∠ ABE = ，即
，
∴ EG =8 ， BG = 6 ，
∴ AG =4 ，
∴ 点 E 的坐标为 (4 ， 12) ，
根据题意，直线 l 经过矩形 OABC 的对角线的交点 H 和菱形 ABEF 的对角线的交点 D ，
点 H 的坐标为 ( ，
) ，点 D 的坐标为 (
，
) ，
∴ 点 H 的坐标为 (5 ， 2) ，点 D 的坐标为 (2 ， 8) ，
设直线 l 的解析式为 y = kx + b ，
把 (5 ， 2) ， (2 ， 8) 代入得 ，
解得： ，
∴ 直线 l 的解析式为 y =-2 x +12 ，
故选： D ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，矩形和菱形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
