如图，抛物线 y ＝ ax ² + bx + c 与 x 轴交于 A （﹣ 4 ， 0 ）， B （ 2 ， 0 ），与 y 轴交于点 C （ 0 ， 2 ）．

(1) 求这条抛物线所对应的函数的表达式；

(2) 若点 D 为该抛物线上的一个动点，且在直线 AC 上方，求点 D 到直线 AC 的距离的最大值及此时点 D 的坐标；

(3) 点 P 为抛物线上一点，连接 CP ，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 1 ： 5 两部分，求点 P 的坐标．

答案

(1)

(2) ，点 D 的坐标为（﹣ 2 ， 2 ）；

(3) 点 P 的坐标为（ 6 ，﹣ 10 ）或（﹣ ，﹣ ）．

【分析】（ 1 ）运用待定系数法即可解决问题；

（ 2 ）过点 D 作 DH ⊥ AB 于 H ，交直线 AC 于点 G ，过点 D 作 DE ⊥ AC 于 E ，可用待定系数法求出直线 AC 的解析式，设点 D 的横坐标为 m ，则点 G 的横坐标也为 m ，从而可以用 m 的代数式表示出 DG ，然后利用 得到 ，可得出关于 m 的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；

（ 3 ）根据 S _△ PCB ： S _△ PCA = 即可求解．

【详解】（ 1 ） ∵ 抛物线 y ＝ ax ² + bx + c 与 x 轴交于 A （﹣ 4 ， 0 ）， B （ 2 ， 0 ），与 y 轴交于点 C （ 0 ， 2 ）．

∴ ，

解得： ，

∴ 抛物线的解析式为 ；

（ 2 ）（ 2 ）过点 D 作 DH ⊥ AB 于 H ，交直线 AC 于点 G ，过点 D 作 DE ⊥ AC 于 E ，如图．

设直线 AC 的解析式为 y ＝ kx + t ，

则 ，

解得： ，

∴ 直线 AC 的解析式为 ．

设点 D 的横坐标为 m ，则点 G 的横坐标也为 m ，

∴

∴ ，

∵ DE ⊥ AC ， DH ⊥ AB ，

∴∠ EDG +∠ DGE ＝ ∠ AGH +∠ CAO ＝ 90° ，

∵∠ DGE ＝ ∠ AGH ，

∴∠ EDG ＝ ∠ CAO ，

∴ ＝ ＝ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 当 m ＝﹣ 2 时，点 D 到直线 AC 的距离取得最大值 ．

此时 ，

即点 D 的坐标为（﹣ 2 ， 2 ）；

（ 3 ）如图，设直线 CP 交 x 轴于点 E ，

直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 1 ： 5 两部分，

又 ∵ S △ PCB ： S △ PCA ＝ ，

则 EB ： AE ＝ 1 ： 5 或 5 ： 1

则 AE ＝ 5 或 1 ，

即点 E 的坐标为（ 1 ， 0 ）或（﹣ 3 ， 0 ），

将点 E 的坐标代入直线 CP 的表达式： y ＝ nx +2 ，

解得： n ＝﹣ 2 或 ，

故直线 CP 的表达式为： y ＝﹣ 2 x +2 或 y ＝ x +2 ，

联立方程组 或 ，

解得： x ＝ 6 或﹣ （不合题意值已舍去），

故点 P 的坐标为（ 6 ，﹣ 10 ）或（﹣ ，﹣ ）．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．