如图 1 ，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别是 BC ， CD 边上的点（点 E 不与点 B ， C 重合），且 ．
(1) 当 时，求证：
；
(2) 猜想 BE ， EF ， DF 三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3) 如图 2 ，连接 AC ， G 是 CB 延长线上一点， ，垂足为 K ，交 AC 于点 H 且
．若
，
，请用含 a ， b 的代数式表示 EF 的长．
答案
(1) 见解析
(2) ，见解析
(3)
【分析】（ 1 ）先利用正方表的性质求得 ，
，再利用判定三角形全等的 “SAS” 求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；
（ 2 ）延长 CB 至 M ，使 ，连接 AM ，先易得
，推出
，
，进而得到
，最后利用全等三角形的性质求解；
（ 3 ）过点 H 作 于点 N ，易得
，进而求出
，再根据（ 2 ）的结论求解．
（ 1 ）
证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ，
．
在 和
中
，
∴ ，
∴ ；
（ 2 ）
解 ： BE ， EF ， DF 存在的数量关系为 ．
理由如下：
延长 CB 至 M ，使 ，连接 AM ，
则 ．
在 和
中
，
∴ ，
∴ ，
．
∵ ，
∴ ．
∴∠ MAE =∠ FAE ，
在 和
中
，
∴ ，
∴ EM = EF ，
∵ EM = BE + BM ，
∴ ；
（ 3 ）
解：过点 H 作 于点 N ，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和
中
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
由（ 2 ）知， ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键．
