配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．

定义：若一个整数能表示成 （ a ， b 是整数）的形式，则称这个数为 “ 完美数 ” ．

例如， 5 是 “ 完美数 ” ．理由：因为 ，所以 5 是 “ 完美数 ” ．

解决问题：

（ 1 ）已知 是 “ 完美数 ” ，请将它写成 （ a ， b 是整数）的形式： ；

（ 2 ）若 可配成 （ m ， n 为常数），则 的值为 ；

探究问题：

（ 3 ）已知 ，求 的值．

答案

（ 1 ） 29=5 ² +2 ² ；（ 2 ） 2 ；（ 3 ） -1

【分析】

（ 1 ）根据 “ 完美数 ” 的定义判断即可；

（ 2 ）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；

（ 3 ）配方后根据非负数的性质可得 x 和 y 的值，进行计算即可；

【详解】

解：（ 1 ） ∵29=5 ² +2 ² ，

∴29 是 “ 完美数 ” ，

故答案为： 29=5 ² +2 ² ；

（ 2 ） ∵ x ² -4 x +5=( x ² -4 x +4)+1=( x -2) ² +1 ，

又 x ² -4 x +5=( x - m ) ² + n ，

∴ m =2 ， n =1 ，

∴ mn =2×1=2,

故答案为： 2 ；

（ 3 ） x ² + y ² -2 x +4 y +5=0 ，

x ² -2 x +1+( y ² +4 y +4)=0 ，

( x -1) ² +( y +2) ² =0 ，

∴ x -1=0 ， y +2=0 ，

∴ x =1 ， y =-2 ，

∴ x + y =1-2=-1 ．

【点睛】

本题考查了新定义，以及配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．