如图 1 ，在 △ ABC 中， ∠ C =90° ， ∠ ABC =30° ， AC =1 ， D 为 △ ABC 内部的一动点（不在边上），连接 BD ，将线段 BD 绕点 D 逆时针旋转 60° ，使点 B 到达点 F 的位置；将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 60° ，使点 A 到达点 E 的位置，连接 AD ， CD ， AE ， AF ， BF ， EF ．
（ 1 ）求证： △ BDA ≌△ BFE ；
（ 2 ） ① CD + DF + FE 的最小值为 ；
② 当 CD + DF + FE 取得最小值时，求证： AD ∥ BF ．
（ 3 ）如图 2 ， M ， N ， P 分别是 DF ， AF ， AE 的中点，连接 MP ， NP ，在点 D 运动的过程中，请判断 ∠ MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
答案
（ 1 ）见解答；
（ 2 ） ① ； ② 见解答；
（ 3 ）是， ∠ MPN =30° ．
【分析】
（ 1 ）由旋转 60° 知， ∠ ABD =∠ EBF 、 AB = AE 、 BD = BF ，故由 SAS 证出全等即可；
（ 2 ） ① 由两点之间，线段最短知 C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小，且 CD + DF + FE 最小值为 CE ，再由 ∠ ACB =90° ， ∠ ABC =30° ， AC =1 求出 BC 和 AB ，再由旋转知 AB = BE ， ∠ CBE =90° ，最后根据勾股定理求出 CE 即可；
② 先由 △ BDF 为等边三角形得 ∠ BFD =60° ，再由 C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小， ∠ BFE =120°=∠ BDA ，最后 ADF =∠ ADB -∠ BDF =120°-60°=60° ，即证；
（ 3 ）由中位线定理知道 MN ∥ AD 且 PN ∥ EF ，再设 ∠ BEF =∠ BAD =α ， ∠ PAN =β ，则 ∠ PNF =60° -α+β ， ∠ FNM =∠ FAD =60° +α-β ，得 ∠ PNM =120° ．
【详解】
解：（ 1 ）证明： ∵∠ DBF =∠ ABE =60° ，
∴∠ DBF -∠ ABF =∠ ABE -∠ ABF ，
∴∠ ABD =∠ EBF ，
在 △ BDA 与 △ BFE 中，
，
∴△ BDA ≌△ BFE （ SAS ）；
（ 2 ） ①∵ 两点之间，线段最短，
即 C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小，
∴ CD + DF + FE 最小值为 CE ，
∵∠ ACB =90° ， ∠ ABC =30° ， AC =1 ，
∴ BE = AB =2 ， BC = ，
∵∠ CBE =∠ ABC +∠ ABE =90° ，
∴ CE = ，
故答案为： ；
② 证明： ∵ BD = BF ， ∠ DBF =60° ，
∴△ BDF 为等边三角形，
即 ∠ BFD =60° ，
∵ C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小，
∴∠ BFE =120° ，
∵△ BDA ≌△ BFE ，
∴∠ BDA =120° ，
∴∠ ADF =∠ ADB -∠ BDF =120°-60°=60° ，
∴∠ ADF =∠ BFD ，
∴ AD ∥ BF ；
（ 3 ） ∠ MPN 的大小是为定值，理由如下：
如图，连接 MN ，
∵ M ， N ， P 分别是 DF ， AF ， AE 的中点，
∴ MN ∥ AD 且 PN ∥ EF ，
∵ AB = BE 且 ∠ ABE =60° ，
∴△ ABE 为等边三角形，
设 ∠ BEF =∠ BAD = α ， ∠ PAN = β ，
则 ∠ AEF =∠ APN =60°- α ， ∠ EAD =60°+ α ，
∴∠ PNF =60°- α + β ， ∠ FNM =∠ FAD =60°+ α - β ，
∴∠ PNM =∠ PNF +∠ FNM =60°- α + β +60°+ α - β =120° ，
∵△ BDA ≌△ BFE ，
∴ MN = AD =
FE = PN ，
∴∠ MPN = (180°-∠ PNM )=30° ．
【点睛】
本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键 ．
