在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P ( x , y ),若点 Q 的坐标为( ax + y , x + ay ),则称点 Q 是点 P 的 “a 级关联点 ” (其中 a 为常数,且 a≠0 ),例如,点 P ( 1 , 4 )的 “2 级关联点 ” 为 Q ( 2×1 + 4 , 1 + 2×4 ),即 Q ( 6 , 9 ).
( 1 )若点 P 的坐标为(﹣ 1 , 5 ),则它的 “3 级关联点 ” 的坐标为 ;
( 2 )若点 P 的 “5 级关联点 ” 的坐标为( 9 ,﹣ 3 ),求点 P 的坐标;
( 3 )若点 P ( m ﹣ 1 , 2m )的 “ ﹣ 3 级关联点 ” 位于坐标轴上.求点 的坐标.
( 1 )( 2 , 14 ) ( 2 )( 2 ,- 1 ) ( 3 )( , 0 )或( 0 ,- 16 )
【分析】
( 1 )根据 “a 级关联点 ” 的定义即可求解;
( 2 )设点 P 的坐标为( a , b ),根据 “a 级关联点 ” 的定义列出方程组解出 a,b, 故可求解;
( 3 )先表示出点 P ( m ﹣ 1 , 2m )的 “ ﹣ 3 级关联点 ” P′ ,再分 P′ 在 x 轴, y 轴进行讨论即可求解.
【详解】
解:( 1 )点 P 的坐标为(﹣ 1 , 5 ),则它的 “3 级关联点 ” 的坐标为( -1×3 + 5 , -1 + 3×5 ),即( 2 , 14 ).
故答案为:( 2 , 14 ).
( 2 )设点 P 的坐标为( a , b ),
由题意可知 解得:
∴ 点 P 的坐标为( 2 ,- 1 );
( 3 ) ∵ 点 P ( m ﹣ 1 , 2m )的 “ ﹣ 3 级关联点 ” 为 P′ (﹣ 3 ( m ﹣ 1 )+ 2m , m ﹣ 1 +(﹣ 3 ) ×2m ), ①P′ 位于 x 轴上,
∴m ﹣ 1 +(﹣ 3 ) ×2m = 0 ,
解得: m =
∴ ﹣ 3 ( m ﹣ 1 )+ 2m = ,
∴P′ ( , 0 ).
②P′ 位于 y 轴上,
∴ ﹣ 3 ( m ﹣ 1 )+ 2m = 0 ,
解得: m = 3
∴m ﹣ 1 +(﹣ 3 ) ×2m =﹣ 16 ,
∴P′ ( 0 ,﹣ 16 ).
综上所述,点 P′ 的坐标为( , 0 )或( 0 ,- 16 ).
【点睛】
此题主要考查坐标的求解,解题的关键是熟知 “a 级关联点 ” 的定义,列出方程求解.
特殊位置的点的坐标的特点:
1.x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。
2.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
3.在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。
4.点到轴及原点的距离
点到x轴的距离为|y|; 点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方的平方根;
对称点:
1.关于x轴成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。(横同纵反)
2.关于y轴成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。(横反纵同)
3.关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反)
点的符号:
横坐标 纵坐标
第一象限:(+,+)正正
第二象限:(-,+)负正
第三象限:(-,-)负负
第四象限:(+,-)正负
x轴正半轴:(+,0)
x轴负半轴:(-,0)
y轴正半轴:(0,+)
y轴负半轴: (0,-)
x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。
原点:(0,0)
注:以数对形式(x,y)表示的坐标系中的点(如2,-4),“2”是x轴坐标,“-4”是y轴坐标。
其他公式:
1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
2. 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。
3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
4.一点上下平移,横坐标不变,即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。
5.y轴上的点,横坐标都为0。
6.x轴上的点,纵坐标都为0。
7.坐标轴上的点不属于任何象限。
8.一个关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。
9.一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。
10.与x轴做轴对称变换时,x不变,y变
11.与y轴做轴对称变换时,y不变,x变
12.与原点做轴对称变换时,y与x都变
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