如图，抛物线 过 ， 两点，点 、 关于抛物线的对称轴对称，过点 作直线 轴，交 轴于点 ．

（ 1 ）求抛物线的表达式；

（ 2 ）直接写出点 的坐标，并求出 的面积；

（ 3 ）若点 在直线 上运动，点 在 轴上运动，是否存在以点 、 、 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由．

答案

（ 1 ） ；（ 2 ） ， 3 ；（ 3 ） 点坐标为 或 或 或 ，见解析．

【分析】

（ 1 ）把把 ， 代入抛物线，求解即可；

（ 2 ）求得对称轴为 ，再根据点 和点 关于对称轴对称，即可求得点 坐标，面积也可求解；

（ 3 ）分别以点 为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求 或 的长，即可求解．

【详解】

解：（ 1 ）把 ， 代入抛物线 中，

得 ，

解得 ，

所以该抛物线表达式为 ；

（ 2 ） ，

抛物线对称轴为直线 ，

点 和点 关于对称轴对称，点 的坐标为 ，

，

又 ，

；

（ 3 ）以点 、 、 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：

① 以点 为直角顶点且 在 轴上方时，如图，

， ，

在 和 中，

，

，

， ，

；

② 以点 为直角顶点且 在 轴下方时，如图，

作辅助线，构建如图所示的两直角三角形： 和 ，

同理得 ，

，

，

，

；

③ 以点 为直角顶点且 在 轴左侧时，如图，

， ，做辅助线，

同理得 ，

，

，

；

④ 以点 为直角顶点且 在 轴右侧时，如图，做辅助线，

同理得 ，

，

；

⑤ 以 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；

综上可知当 为等腰直角三角形时 点坐标为 或 或 或 ．

【点睛】

此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数图像性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质并灵活运用．