如图，在平面直角坐标系中，抛物线

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴相交于 O ， A 两点，顶点 P 的坐标为．点 B 为抛物线上一动点，连接，过点 B 的直线与抛物线交于另一点 C ．

（ 1 ）求抛物线的函数表达式；

（ 2 ）若点 B 的横坐标与纵坐标相等，，且点 C 位于 x 轴上方，求点 C 的坐标；

（ 3 ）若点 B 的横坐标为 t ，，请用含 t 的代数式表示点 C 的横坐标，并求出当时，点 C 的横坐标的取值范围．

答案

（ 1 ）或；（ 2 ）点 C 的坐标为或；（ 3 ）；

【分析】

（ 1 ）设抛物线的解析式为，把点 O (0 ， 0) 代入即可求解；

（ 2 ）求得 B (0 ， 0) 或 B (8 ， 8) ，分两种情况讨论， ① 当点 B 的坐标为 (0 ， 0) 时，过点 B 作 BC ∥ AP 交抛物线于点 C ，利用待定系数法求得直线 BC 的解析式为，解方程组即可求解； ② 点 B 的坐标为 (8 ， 8) 时，作出如图的辅助线，利用三角形函数以及轴对称的性质求得 M ( ， ) ，同 ① 可求解；

（ 3 ）作出如图的辅助线，点 B 的坐标为 ( t ， ) ，得到 AH = ， BH = ， OH = MN ，由 AH = ， BH = ， OH = MN ， △ ABH △ BMN 得到 M (0 ， ) ，求得 BC 的解析式为：，解方程组求得点 C 的横坐标为，即可求解．

【详解】

（ 1 ） ∵ 抛物线的顶点坐标为 P (2 ， -1) ，

∴ 设抛物线的解析式为，

∵ 抛物线经过原点 O ，即经过点 O (0 ， 0) ，

∴ ，

解得：，

∴ 抛物线的解析式为；

（ 2 ）在中，令，

得：，

解得或，

∴ B (0 ， 0) 或 B (8 ， 8) ，

① 当点 B 的坐标为 (0 ， 0) 时，过点 B 作 BC ∥ AP 交抛物线于点 C ，

此时 ∠ ABC =∠ OAP ，如图：

在中，令，

得：，

解得：或，

∴ A (4 ， 0) ，

设直线 AP 的解析式为，

将 A (4 ， 0) ， P (2 ， -1) 代入得

，解得：，

∴ 直线 AP 的解析式为，

∵ BC ∥ AP ，

∴ 设直线 BC 的解析式为，

将 B (0 ， 0) 代入得，

∴ 直线 BC 的解析式为，

由，

得： ( 此点为点 O ，舍去 ) 或，

∴ 点 C 的坐标为 (6 ， 3) ；

② 点 B 的坐标为 (8 ， 8) 时，过点 P 作 PQ ⊥ 轴于点 Q ，过点 B 作 BH ⊥ 轴于点 H ，作 H 关于 AB 的对称点 M ，作直线 BM 交抛物线于 C ，连接 AM ，如图：

∵ A (4 ， 0) ， P( 2 ， -1) ，

∴ PQ =1 ， AQ =2 ，

在 Rt △ APQ 中，，

∵ A (4 ， 0) ， B (8 ， 8) ，

∴ AH =4 ， BH =8 ，

在 Rt △ ABH 中，，

∴∠ OAP =∠ ABH ，

∵ H 关于 AB 的对称点为 M ，

∴∠ ABM =∠ ABH ，

∴∠ ABC =∠ OAP ，即 C 为满足条件的点，

设 M ( x ， y ) ，

∵ H 关于 AB 的对称点为 M ，

∴ AM = AH =4 ， BM = BH =8 ，

∴

两式相减得：，代入即可解得：

( 此点为点 H ，舍去 ) 或，

∴ M ( ， ) ，

同理求得 BM 的解析式为：，

解得： ( 此点为点 B ，舍去 ) 或，

∴ 点 C 的坐标为 (-1 ， ) ；

综上，点 C 的坐标为 (6 ， 3) 或 (-1 ， ) ；

（ 3 ）设 BC 交 y 轴于点 M ，过点 B 作 BH ⊥ 轴于点 H ，过点 M 作 MN ⊥ 于点 N ，如图：

∵ 点 B 的横坐标为 t ，

∴ 点 B 的坐标为 ( t ， ) ，又 A (4 ， 0) ，

∴ AH = ， BH = ， OH = MN ，

∵∠ ABC =90° ，

∴∠ MBN =90°-∠ ABH =∠ BAH ，

且 ∠ N =∠ AHB =90° ，

∴△ ABH △ BMN ，

∴ ，即，

∴ BN = ，

∴ HN = ，

∴ M (0 ， ) ，

同理求得 BC 的解析式为：，

由，得，

解得 ( 点 B 的横坐标 ) ，或，

∴ 点 C 的横坐标为，

当时，

，

∴ 当时，的最小值是 12 ，此时；

∴ 当时，点 C 的横坐标的取值范围是．

【点睛】

本题考查二次函数综合知识，涉及解析式、锐角三角函数、对称变换、两条直线平行、两条直线互相垂直、解含参数的方程等，综合性很强，难度较大，解题的关键是熟练掌握、应用各种综合知识，用含字母的式子表示线段长度及函数解析式．

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九上第二十二章二次函数

二次函数单元测试

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难度：

使用次数：181

更新时间：2021-07-31

纠错

（ 1 ）求抛物线的函数表达式；

（ 2 ）若点 B 的横坐标与纵坐标相等，，且点 C 位于 x 轴上方，求点 C 的坐标；

（ 3 ）若点 B 的横坐标为 t ，，请用含 t 的代数式表示点 C 的横坐标，并求出当时，点 C 的横坐标的取值范围．

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题型：解答题

知识点：二次函数单元测试

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【答案】

（ 1 ）或；（ 2 ）点 C 的坐标为或；（ 3 ）；

【分析】

（ 1 ）设抛物线的解析式为，把点 O (0 ， 0) 代入即可求解；

【详解】

（ 1 ） ∵ 抛物线的顶点坐标为 P (2 ， -1) ，

∴ 设抛物线的解析式为，

∵ 抛物线经过原点 O ，即经过点 O (0 ， 0) ，

∴ ，

解得：，

∴ 抛物线的解析式为；

（ 2 ）在中，令，

得：，

解得或，

∴ B (0 ， 0) 或 B (8 ， 8) ，

① 当点 B 的坐标为 (0 ， 0) 时，过点 B 作 BC ∥ AP 交抛物线于点 C ，

此时 ∠ ABC =∠ OAP ，如图：

在中，令，

得：，

解得：或，

∴ A (4 ， 0) ，

设直线 AP 的解析式为，

将 A (4 ， 0) ， P (2 ， -1) 代入得

，解得：，

∴ 直线 AP 的解析式为，

∵ BC ∥ AP ，

∴ 设直线 BC 的解析式为，

将 B (0 ， 0) 代入得，

∴ 直线 BC 的解析式为，

由，

得： ( 此点为点 O ，舍去 ) 或，

∴ 点 C 的坐标为 (6 ， 3) ；

② 点 B 的坐标为 (8 ， 8) 时，过点 P 作 PQ ⊥ 轴于点 Q ，过点 B 作 BH ⊥ 轴于点 H ，作 H 关于 AB 的对称点 M ，作直线 BM 交抛物线于 C ，连接 AM ，如图：

∵ A (4 ， 0) ， P( 2 ， -1) ，

∴ PQ =1 ， AQ =2 ，

在 Rt △ APQ 中，，

∵ A (4 ， 0) ， B (8 ， 8) ，

∴ AH =4 ， BH =8 ，

在 Rt △ ABH 中，，

∴∠ OAP =∠ ABH ，

∵ H 关于 AB 的对称点为 M ，

∴∠ ABM =∠ ABH ，

∴∠ ABC =∠ OAP ，即 C 为满足条件的点，

设 M ( x ， y ) ，

∵ H 关于 AB 的对称点为 M ，

∴ AM = AH =4 ， BM = BH =8 ，

∴

两式相减得：，代入即可解得：

( 此点为点 H ，舍去 ) 或，

∴ M ( ， ) ，

同理求得 BM 的解析式为：，

解得： ( 此点为点 B ，舍去 ) 或，

∴ 点 C 的坐标为 (-1 ， ) ；

综上，点 C 的坐标为 (6 ， 3) 或 (-1 ， ) ；

（ 3 ）设 BC 交 y 轴于点 M ，过点 B 作 BH ⊥ 轴于点 H ，过点 M 作 MN ⊥ 于点 N ，如图：

∵ 点 B 的横坐标为 t ，

∴ 点 B 的坐标为 ( t ， ) ，又 A (4 ， 0) ，

∴ AH = ， BH = ， OH = MN ，

∵∠ ABC =90° ，

∴∠ MBN =90°-∠ ABH =∠ BAH ，

且 ∠ N =∠ AHB =90° ，

∴△ ABH △ BMN ，

∴ ，即，

∴ BN = ，

∴ HN = ，

∴ M (0 ， ) ，

同理求得 BC 的解析式为：，

由，得，

解得 ( 点 B 的横坐标 ) ，或，

∴ 点 C 的横坐标为，

当时，

，

∴ 当时，的最小值是 12 ，此时；

∴ 当时，点 C 的横坐标的取值范围是．

【点睛】

考点梳理:

根据可圈可点权威老师分析，试题“ ”主要考查你对求二次函数的解析式及二次函数的应用等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下：

◎ 求二次函数的解析式及二次函数的应用的定义

求二次函数的解析式：
最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；
建立数学模型；
解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

◎ 求二次函数的解析式及二次函数的应用的知识扩展

1、求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
2、二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

◎ 求二次函数的解析式及二次函数的应用的特性

二次函数的三种表达形式：
①一般式：
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

②顶点式：
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

③交点式：
y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤：
二次函数
∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+b/ax+c/a)
=a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
=a(x-x₁)(x-x₂).
重要概念：
a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
能熟练地运用二次函数解决实际问题。

◎ 求二次函数的解析式及二次函数的应用的知识对比

二次函数的其他表达形式：
①牛顿插值公式:
f(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)+...f[x₀,...x_n](x-x₀)...(x-_xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

双根式
y=a(x-x₁)*(x-x2)
若ax2+bx+c=0有两个实根x₁,x₂，则y=a(x-x₁)(x-x₂)此抛物线的对称轴为直线x=(x₁+x₂)/2。

③三点式
已知二次函数上三个点，（x₁,f(x₁)）（x₂,f(x₂)）（x₃,f(x₃)）
则f(x)=f(x₃)(x-x₁)(x-x₂)/(x₃-x₁)(x₃-x₂)+f(x₂)(x-x₁)*(x-x₃)/(x₂-x₁)(x₂-x₃)+f(x₁)(x-x₂)(x-x₃)/(x₁-x₂)(x₁-x₃)
与X轴交点的情况
当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x₁,0), (x₂,0);
当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。
Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

◎ 求二次函数的解析式及二次函数的应用的知识点拨

二次函数解释式的求法：
就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

1.巧取交点式法：
知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x₁)(x－x₂) （a≠0）x₁，x₂分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
点拨：
解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，
∵过点（2，8），
∴8＝a(2+2)(2-1)。
解得a=2，
∴抛物线的解析式为：
y＝2(x+2)(x-1)，
即y＝2x2+2x-4。

②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
点拨：
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

2.巧用顶点式：
顶点式y=a(x－h)²+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
点拨：
解∵顶点坐标为（-1，-2），
故设二次函数解析式为y=a(x+1)²-2 （a≠0）。
把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)²-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3(x+1)²-2，即y=3x²+6x+1。

②典型例题二：
如果a>0，那么当时，y有最小值且y_最小=；
如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y_最大=。
告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
点拨：
析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。
故可设函数解析式为y＝a(x－4)²－3。
将（1，0）代入得0＝a(1－4)²－3, 解得a＝13．
∴y＝13(x－4)²-3，即y＝13x²－83x＋73。
③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
例如：
（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
点拨：
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，
∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。