如图, 为 的直径, C 为 上一点,连接 , D 为 延长线上一点,连接 ,且 .
( 1 )求证: 是 的切线;
( 2 )若 的半径为 , 的面积为 ,求 的长;
( 3 )在( 2 )的条件下, E 为 上一点,连接 交线段 于点 F ,若 ,求 的长.
( 1 )见解析;( 2 ) ;( 3 )
【分析】
( 1 )连接 .可证得 ,从而得 是 的切线;
( 2 )过点 C 作 于点 M ,可得 ,再证明 △ COM ∽△ DOC , 进而得到 ;
( 3 )过点 E 作 于点 N ,连接 ,证明 △ FCM ∽△FEN ,利用相似可得 ,再证明 Rt△ COM ≌Rt△ OEN ,通过全等可得 ON = CM =2 ,进而根据已知条件得到 .
【详解】
( 1 )证明:连接 ,
∵ AB 为 ⊙ O 直径,
∴∠ ACB = 90° ,
∴∠ CAB +∠ CBO = 90° ,
又 ∵ OB = OC ,
∴∠ CBO = ∠ BCO ,
∴∠ CAB +∠ BCO = 90°
∵∠ BCD = ∠ A ,
∴∠ BCD +∠ BCO = 90° ,
∴ OC ⊥ CD
∴ CD 为 ⊙ O 切线;
( 2 )过点 C 作 于点 M ,
∵ 的半径为 ,
∴ AB = ,
∵ 的面积为 ,
∴ CM =2 ,
在 Rt△ CMO 中, CO = , CM =2 ,
∴ OM =1 ,
由( 1 )得 ∠ OCD =∠ CMO =90° ,
∵∠ COM =∠ COD ,
∴△ COM ∽△ DOC ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
( 3 )过点 E 作 于点 N ,连接 ,
∵ , ,
∴△ FCM ∽△ FEN ,
∴ ,
由( 2 )得 CM =2 , OM =1 ,
∴ EN = OM =1 ,
∵ OC = OE ,
∴Rt△ COM ≌Rt△ OEN ,
∴ ON = CM =2 ,
∴ MN =3 ,
∵ ,
∴ FM =2 ,
∵ OM =1 ,
∴ OF =1 ,
∵ BF = OB + OF ,
∴ .
【点睛】
本题是圆的综合题,考查了圆周角定理,切线的判定,相似三角形的判定和性质,解答本题需要我们熟练掌握各部分的内容,要注意将所学知识贯穿起来.
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