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九下 第二十八章 锐角三角形函数
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解直角三角形与其应用
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使用次数:245
更新时间:2021-07-31
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1.

越来越多太阳能路灯的使用,既点亮了城市的风景,也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动,测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图,已知测倾器的高度为 1.6 米,在测点 A 处安置测倾器,测得点 M 的仰角 ,在与点 A 相距 3.5 米的测点 D 处安置测倾器,测得点 M 的仰角 (点 A D N 在一条直线上),求电池板离地面的高度 的长.(结果精确到 1 米;参考数据:

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题型:解答题
知识点:解直角三角形与其应用
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【答案】

8

【分析】

E EF MN F ,连接 EB ,设 MF = x 米,可证四边形 FNDE ,四边形 FNAB 均是矩形,设 MF = EF = x ,可求 FB = x +3.5 ,由 tan∠ MBF = ,解得 米,可求 MN = MF + FN =6.5+1.6≈8 米.

【详解】

解:过 E EF MN F ,连接 EB ,设 MF = x 米,

∵∠ EFN =∠ FND =∠ EDN =∠ A =90°

四边形 FNDE ,四边形 FNAB 均是矩形,

FN = ED = AB =1.6 米, AD = BE =3.5 米,

∵∠ MEF =45° EFM =90°

MF = EF = x ,

FB = FE + EB = x +3.5

∴tan∠ MBF =

解得 米,

经检验 米符合题意,

MN = MF + FN =6.5+1.6=8.1≈8 米.

【点睛】

本题考查矩形判定与性质,锐角三角函数,简单方程,掌握矩形判定与性质,锐角三角函数,简单方程是解题关键.

=
考点梳理:
根据可圈可点权威老师分析,试题“ ”主要考查你对 直角三角形的性质及判定 等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下:
◎ 直角三角形的性质及判定的定义
直角三角形定义:
有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示,如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
◎ 直角三角形的性质及判定的知识扩展
1、定义:有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示,如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
2、判定:(1)定义,有一个角为90°的三角形是直角三角形。
(2)判定定理:如果三角形的三边a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形。
(3)一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。
(4)两个锐角互余的三角形是直角三角形。
(5)若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
3、性质:(1)直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
(2)在直角三角形中,两个锐角互余。
(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。
(4)直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
(5)在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
◎ 直角三角形的性质及判定的特性

直角三角形性质:
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:
性质1:直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方。即。如图,∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2(勾股定理)
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°
性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:

如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
(1)(AD)2=BD·DC。
(2)(AB)2=BD·BC。
(3)(AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图,1/AB2+1/AC2=1/AD2
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9:直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

◎ 直角三角形的性质及判定的知识点拨

直角三角形的判定方法:
判定1:定义,有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2:判定定理:以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形。(勾股定理的逆定理)。
判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么
判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。
判定7:一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半,则这个三角形为直角三角形。(与判定3不同,此定理用于已知斜边的三角形。)

◎ 直角三角形的性质及判定的教学目标
1、进一步掌握直角三角形的性质----直角三角形中,30度的角所对的边等于斜边的一半;
2、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题;
3、体验探究直角三角形性质和判定的过程,培养动手、动脑的能力。
◎ 直角三角形的性质及判定的考试要求
能力要求:理解
课时要求:40
考试频率:常考
分值比重:3
类题推荐:
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题型:计算题
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题型:填空题
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