如图,已知 是 的直径. 是 的弦,弦 垂直 于点 ,交 于点 .过点 作 的切线交 的延长线于点
( 1 )求证: ;
( 2 )判断 是否成立?若成立,请证明该结论;
( 3 )若 为 中点, , ,求 的长.
( 1 )见解析;( 2 )结论成立,见解析;( 3 )
【分析】
( 1 )连接 ,可得 为等腰三角形,则 ,结合垂经定理和切线的性质可得 ,从而可得 ,即可得到结论;
( 2 )连接 EC , CD , 并延长 交 ⊙O 于点 ,连接 ,证明 ,在结合( 1 )中的结论即可求解;
( 3 )连接 OD , OG ,根据垂经定理的推论得出 , ,在 中利用三角函数求出 ⊙O 的半径,在 中利用三角函数即可求得 长,在利用勾股定理求出 ,从而可求 DE
【详解】
( 1 )如图:连接
为等腰三角形
, 切 ⊙O 于点
( 2 )结论成立;理由如下;
如图:连接 EC , CD , 并延长 交 ⊙O 于点 ,连接
为 ⊙O 的直径
切 ⊙O 于点
( 3 )如图:连接 OD , OG ,
为 中点
与点 F
在 中有
【点睛】
本题考查了垂经定理及推论,相似三角形的判定和性质,切线的性质,以及解直角三角形等知识,综合性较强,解答本题需要我们熟练掌握各部分内容,将所学知识贯穿起来.
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