在平面直角坐标系 中, 的半径为 1 ,对于点 和线段 ,给出如下定义:若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 ( 分别是 的对应点),则称线段 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” .
( 1 )如图,点 的横、纵坐标都是整数.在线段 中, 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” 是 ______________ ;
( 2 ) 是边长为 1 的等边三角形,点 ,其中 .若 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ,求 的值;
( 3 )在 中, .若 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ,直接写出 的最小值和最大值,以及相应的 长.
( 1 ) ;( 2 ) ;( 3 )当 时,此时 ;当 时,此时 .
【分析】
( 1 )以点 A 为圆心,分别以 为半径画圆,进而观察是否与 有交点即可;
( 2 )由旋转的性质可得 是等边三角形,且 是 的弦,进而画出图象,则根据等边三角形的性质可进行求解;
( 3 )由 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ,则可知 都在 上,且 ,然后由题意可根据图象来进行求解即可.
【详解】
解:( 1 )由题意得:
通过观察图象可得:线段 能绕点 A 旋转 90° 得到 的 “ 关联线段 ” , 都不能绕点 A 进行旋转得到;
故答案为 ;
( 2 )由题意可得:当 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” 时,则有 是等边三角形,且边长也为 1 ,当点 A 在 y 轴的正半轴上时,如图所示:
设 与 y 轴的交点为 D ,连接 ,易得 轴,
∴ ,
∴ , ,
∴ ,
∴ ;
当点 A 在 y 轴的正半轴上时,如图所示:
同理可得此时的 ,
∴ ;
( 3 )由 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ,则可知 都在 上,且 ,则有当以 为圆心, 1 为半径作圆,然后以点 A 为圆心, 2 为半径作圆,即可得到点 A 的运动轨迹,如图所示:
由运动轨迹可得当点 A 也在 上时为最小,最小值为 1 ,此时 为 的直径,
∴ ,
∴ ,
∴ ;
由以上情况可知当点 三点共线时, OA 的值为最大,最大值为 2 ,如图所示:
连接 ,过点 作 于点 P ,
∴ ,
设 ,则有 ,
∴ 由勾股定理可得: ,即 ,
解得: ,
∴ ,
∴ ,
在 中, ,
∴ ;
综上所述:当 时,此时 ;当 时,此时 .
【点睛】
本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质,熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键.
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