在 中, ,分别过点 B , C 作 平分线的垂线,垂足分别为点 D , E , BC 的中点是 M ,连接 CD , MD , ME .则下列结论错误的是( )
A . B . C . D .
A
【分析】
设 AD 、 BC 交于点 H ,作 于点 F ,连接 EF .延长 AC 与 BD 并交于点 G .由题意易证 ,从而证明 ME 为 中位线,即 ,故判断 B 正确;又易证 ,从而证明 D 为 BG 中点.即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出 ,故判断 C 正确;由 、 和 可证明 .再由 、 和 可推出 ,即推出 ,即 ,故判断 D 正确;假设 ,可推出 ,即可推出 .由于无法确定 的大小,故 不一定成立,故可判断 A 错误.
【详解】
如图,设 AD 、 BC 交于点 H ,作 于点 F ,连接 EF .延长 AC 与 BD 并交于点 G .
∵ AD 是 的平分线, , ,
∴ HC = HF ,
∴ AF = AC .
∴ 在 和 中, ,
∴ ,
∴ , ∠ AEC =∠ AEF =90° ,
∴ C 、 E 、 F 三点共线,
∴ 点 E 为 CF 中点.
∵ M 为 BC 中点,
∴ ME 为 中位线,
∴ ,故 B 正确,不符合题意;
∵ 在 和 中, ,
∴ ,
∴ ,即 D 为 BG 中点.
∵ 在 中, ,
∴ ,
∴ ,故 C 正确,不符合题意;
∵ , , ,
∴ .
∵ , ,
∴ ,
∴ .
∵ AD 是 的平分线,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,故 D 正确,不符合题意;
∵ 假设 ,
∴ ,
∴ 在 中, .
∵ 无法确定 的大小,故原假设不一定成立,故 A 错误,符合题意.
故选 A .
【点睛】
本题考查角平分线的性质,三角形全等的判定和性质,直角三角形的性质,三角形中位线的判定和性质以及含 角的直角三角形的性质等知识,较难.正确的作出辅助线是解答本题的关键.
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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如图,在下列等腰三角形中,若,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( )
A.(1),(2),(3)
C. (2),(3),(4)
B. (1),(3),(4)
D. (1),(2),(4)