如图,在以点为中心的正方形中,,连接,动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点停止.在运动过程中,的外接圆交于点,连接交于点,连接,将沿翻折,得到.
(1)求证:是等腰直角三角形;
(2)当点恰好落在线段上时,求的长;
(3)设点运动的时间为秒,的面积为,求关于时间的关系式.
(1)证明见解析;(2)EH;(3).
【分析】
(1)由正方形的性质可得,再根据圆周角定理即可证得结论;
(2)设,连接,通过证明可得,再证明可得与t的关系式,进一步可表示的长,由得比例线段,进而求出的值,然后代入的表达式可求的值;
(3)由(2)知与t的关系式,再过点作于点,易证,于是,再根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
(1)证明:∵四边形是正方形,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形;
(2)设,连接,如图,则,
∵,∴,
∴,∴,
又∵,,∴,
∴,∴,
又∵,∴,
∴,
当点恰好落在线段上时,,
∴,∴,
∵,∴,
∴,
∵FG=FH,∴,
解得:,(舍去),
∴;
(3)过点作于点,由(2)得,
∵,,∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】
本题是四边形综合题,重点考查了正方形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的求解和三角形的面积等知识,涉及的知识点多,难度较大,属于试卷的压轴题,第(2)小题具有相当的难度,解题的关键是灵活应用相似三角形的判定与性质,学会利用参数构建方程解决问题.
韦达定理:
一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在考试中运用到)
一般式:ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系:
x1+x2= -b/a
x1·x2=c/a
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