如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点.

（1）求证：EB＝EI；

（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长.

答案

（1）见解析；（2）AI=2.

【解析】

分析：（1）连接IB，只需证明∠IBE=∠BIE．根据三角形的外角的性质、三角形的内心是三角形的角平分线的交点,以及圆周角定理的推论即可证明.

（2）由（1）可得△BDE∽△ABE，即：DE=，再由同弦所对的圆周角相等可得：△ADC∽△ABE，即：AB·AC=AD·AE，列出等式求解即可.

详解：（1）连BI.如图，

∵I是△ABC的内心，

∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，

∵∠CBE=∠CAE，

∴∠BAE=∠CBE，

∴∠BIE=∠ABI+∠BAE，∠IBE=∠CBI+∠CBE，

∴∠IBE=∠BIE，

∴EB＝EI.

（2）设AI=x，由（1）可知：∠BAE=∠CBE，且∠E=∠E.

∴△BDE∽△ABE,BE²=ED·EA，即： DE=.

又∵∠E=∠C(同弦的圆周角相等)，∠BAE=∠CAE.

∴△ADC∽△ABE,AB·AC=AD·AE，

4×3=（x+2）（）,

解得x=2，即AI=2.

点睛：本题考查了三角形的外角的性质、三角形的内心、圆周角定理、相似三角形.