在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．

（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．

（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．

（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

答案

（1）E（3，1）；（2）S_最大=，M坐标为（，3）；（3）F坐标为（0，﹣）．

【解析】

1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；

（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；

（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．

【详解】

（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得： ，

解得： ，即二次函数解析式为y=﹣x²+x+2，

联立一次函数解析式得：，

消去y得：﹣x+2=﹣x²+x+2，

解得：x=0或x=3，

则E（3，1）；

（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，

设M（m，﹣m²+m+2），则H（m，﹣m+2），

∴MH=（﹣m²+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m²+2m，

S_{四边形COEM}=S_△OCE+S_△CME=×2×3+MH•3=﹣m²+3m+3，

当m=﹣=时，S_最大=，此时M坐标为（，3）；

（3）连接BF，如图②所示，

当﹣x²+x+20=0时，x₁=，x₂=，

∴OA=，OB=，

∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，

∴△AOC∽△FOB，

∴ ，即 ，

解得：OF=，

则F坐标为（0，﹣）．

【点睛】

此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．