如图,△ABC内接于⊙O,,点为上的动点,且.
(1)求的长度;
(2)在点D运动的过程中,弦AD的延长线交BC的延长线于点E,问AD•AE的值是否变化?若不变,请求出AD•AE的值;若变化,请说明理由.
(3)在点D的运动过程中,过A点作AH⊥BD,求证:.
(1) ;(2) ;(3)证明见解析.
【解析】
(1)过A作AF⊥BC,垂足为F,交⊙O于G,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长;
(2)连接DG,则可得AG为⊙O的直径,继而可证明△DAG∽△FAE,根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG,连接BG,求得AF=3,FG=,继而即可求得AD•AE的值;
(3)连接CD,延长BD至点N,使DN=CD,连接AN,通过证明△ADC≌△ADN,可得AC=AN,继而可得AB=AN,再根据AH⊥BN,即可证得BH=HD+CD.
【详解】(1)过A作AF⊥BC,垂足为F,交⊙O于G,
∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF=BC=1,
在RtΔAFB中,BF=1,∴AB=;
(2)连接DG,
∵AF⊥BC,BF=CF,∴AG为⊙O的直径,∴∠ADG=∠AFE=90°,
又∵∠DAG=∠FAE,∴△DAG∽△FAE,
∴AD:AF=AG:AE,
∴AD•AE=AF•AG,
连接BG,则∠ABG=90°,∵BF⊥AG,∴BF2=AF•FG,
∵AF==3,
∴FG=,
∴AD•AE=AF•AG=AF•(AF+FG)=3×=10;
(3)连接CD,延长BD至点N,使DN=CD,连接AN,
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC,∠ADC+∠ABC=180°,∠ADN+∠ADB=180°,
∴∠ADC=∠ADN,
∵AD=AD,CD=ND,
∴△ADC≌△ADN,
∴AC=AN,
∵AB=AC,∴AB=AN,
∵AH⊥BN,
∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.
相似三角形的判定:
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似:
(1).两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
(2).两个等腰三角形
(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
(3).两个等边三角形
(两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似)
(4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
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