如图,是的直径,点为的中点,为的弦,且,垂足为,连接交于点,连接,,.
(1)求证:;
(2)若,求的长.
(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1)根据点为的中点和垂径定理可证CD=BF,再利用即可证得结论;
(2)解法一:连接,设的半径为,由列出关于的方程就能求解;
解法二:如图,作辅助线,构建角平分线和全等三角形,证明,得,再证明,得,进而可得和的长,易证,列比例式可求得的长,也就是的长;
解法三:连接,根据垂径定理和三角形的中位线定理可得,再证明,然后利用勾股定理即可求出结果.
【详解】
证明:(1)∵是的中点,∴,
∵是的直径,且,∴,
∴,∴,
在和中,
∵,
∴;
(2)解法一:如图,连接,设的半径为,
中,,即,
中,,即,
∵,∴,∴,
∴,
即,
解得:(舍)或3,
∴,
∴;
解法二:如图,过作交AD延长线于点,连接、,
∵,∴,
∵,∴,
∵,∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,∴,∴,
∵是的直径,∴,∴,
∵,∴,
∴,
∴,
∴.
解法三:如图,连接,交于,
∵是的中点,∴,∴,
∵,∴,
∵,,,
∴,
∴,,
∴,
∴.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的求解、三角形全等的性质和判定以及勾股定理等知识.第二问有难度,注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用.
韦达定理:
一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在考试中运用到)
一般式:ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系:
x1+x2= -b/a
x1·x2=c/a
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